Exercicis: Distribucions bidimensionals

Classifica les parelles següents de variables estadístiques bidimensionals segons el tipus de correlació lineal (positiva, negativa o nul·la) que cal esperar entre elles:

• El pes d'un vehicle i el seu consum de combustible per cada 100 km.

• El nombre d'hores de llum solar directa i la quantitat d'energia produïda per un panell solar.

• El número de calçat d'un adult i el seu sou mensual.

• El temps d'ús continu d'un ordinador portàtil i el percentatge de bateria restant.

En una fàbrica de components electrònics, s'ha mesurat el nombre de defectes trobats en un lot ($X$) i el torn de producció ($Y$, on 1 és matí, 2 és tarda i 3 és nit) durant 50 dies. La taula de freqüències conjuntes és la següent:

Calcula la distribució marginal de la variable $X$ (nombre de defectes) i determina la seva mitjana aritmètica.

En una fàbrica de components electrònics, s'ha mesurat el nombre de defectes trobats en un lot ($X$) i el torn de producció ($Y$, on 1 és matí, 2 és tarda i 3 és nit) durant 50 dies. La taula de freqüències conjuntes és la següent:

Obtén la distribució de la variable $X$ condicionada al fet que la producció s'hagi realitzat exclusivament en el torn de nit ($Y=3$).

En un estudi sobre el rendiment de 12 servidors, s'ha registrat la quantitat de memòria RAM assignada en GB ($X$) i el nombre de peticions processades per segon ($Y$). Es sap que $\sum_{i=1}^{12} x_i y_i = 4500$, la mitjana de la RAM és $\bar{x} = 16$ GB i la mitjana de peticions és $\bar{y} = 22$. Calcula la covariància $\sigma_{xy}$.

La covariància entre la temperatura mitjana diària en graus Celsius ($X$) i les vendes de gelats en centenars d'euros ($Y$) en una gelateria durant l'estiu és $\sigma_{xy} = 18,5$. Si les desviacions típiques marginals són $\sigma_x = 4,2$ i $\sigma_y = 5,1$, calcula el coeficient de correlació lineal $r$ i interpreta el resultat.

En una anàlisi de la relació entre la despesa mensual en màrqueting digital ($X$, en milers d'euros) i els ingressos per vendes ($Y$, en milers d'euros), s'han obtingut les dues rectes de regressió. La recta de $Y$ sobre $X$ és $y = 2,5x + 10$ i la recta de $X$ sobre $Y$ és $x = 0,36y - 2$. Determina el centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ d'aquesta distribució bidimensional.

El departament de recursos humans d'una empresa de programari ha determinat que la recta de regressió que relaciona els anys d'experiència ($X$) amb el salari mensual en euros ($Y$) dels seus programadors és $y = 85x + 1200$. Estima el salari mensual d'un empleat que compta amb 5 anys d'experiència.

Observa els diagrames de dispersió següents que relacionen diferents variables en tres experiments diferents. Assigna raonadament a cada gràfic un dels coeficients de correlació lineal següents: $r = -0,92$, $r = 0,05$, $r = 0,88$.

En una estació meteorològica de Castella i Lleó, en Lucas analitza la relació entre la temperatura mitjana diària ($X$, en graus Celsius) i el consum de gas natural de la calefacció central ($Y$, en metres cúbics) durant cinc jornades d'hivern. Després d'operar amb les dades, obté una covariància $\sigma_{xy} = -14,5\text{ }^\circ\text{C}\cdot\text{m}^3$. Per enviar l'informe a una revista científica internacional, decideix convertir la temperatura a kèlvins ($U = X + 273,15$) i el volum de gas a litres ($V = 1000Y$). En Lucas conclou en el seu esborrany: «Com que a $X$ li sumem $273,15$ i a $Y$ la multipliquem per $1000$, la nova covariància és $\sigma_{uv} = (-14,5 + 273,15) \cdot 1000 = 258\,650\text{ K}\cdot\text{L}$, de manera que ara la relació entre ambdues magnituds passa a ser positiva». Identifica i explica els dos errors conceptuals comesos per en Lucas, justifica quin efecte geomètric i algebraic tenen les translacions i els canvis d'escala sobre la covariància, i calcula el valor numèric correcte de $\sigma_{uv}$ amb les seves unitats.

Un equip d'orientació educativa d'un centre de secundària ha registrat en una mostra de 30 estudiants d'1r de Batxillerat el temps diari d'ús recreatiu del mòbil ($X$, en hores) i les hores de son nocturn ($Y$, en hores). Després de tabular les dades individuals, es disposa de les mitjanes $\bar{x} = 3,5\text{ h}$, $\bar{y} = 7,0\text{ h}$ i la covariància $\sigma_{xy} = -1,8\text{ h}^2$. Per coordinar-se amb un estudi autonòmic de salut juvenil, cal expressar ambdues variables en minuts ($U = 60X$, $V = 60Y$). Per trobar la nova covariància $\sigma_{uv}$, es proposen dos camins:

• Mètode 1: Multiplicar per 60 cadascun dels 30 parells de valors originals $(x_i, y_i)$, construir una nova taula amb els parells $(u_i, v_i)$, trobar les noves mitjanes $\bar{u}$ i $\bar{v}$, i calcular $\sigma_{uv} = \frac{\sum u_i v_i}{30} - \bar{u}\bar{v}$.

• Mètode 2: Aplicar la propietat algebraica de conservació de la covariància enfront de transformacions lineals $\sigma_{uv} = ac\cdot\sigma_{xy}$.

Compara ambdós mètodes avaluant el temps de càlcul i el risc de propagació d'errors d'arrodiment, i indica raonadament quin és el preferible. Finalment, aplica el mètode seleccionat per calcular el valor exacte de $\sigma_{uv}$ i interpreta el seu signe.

En una cooperativa agrícola, s'ha registrat la quantitat de fertilitzant aplicat en kg/ha ($X$) i el rendiment de la collita en tones/ha ($Y$) en 5 parcel·les experimentals:

• $X$: 10, 20, 30, 40, 50

• $Y$: 2,5; 3,8; 4,2; 5,5; 6,0

Calcula les mitjanes marginals, les variàncies marginals i la covariància d'aquesta distribució bidimensional.

En un assaig clínic, s'ha classificat 100 pacients segons el seu grup d'edat ($X$, en anys) i el seu nivell de colesterol en sang ($Y$, en mg/dL), agrupats en intervals de classe.

Calcula la mitjana i la desviació típica del nivell de colesterol exclusivament per als pacients del grup d'edat $[40, 50)$. Utilitza les marques de classe per als teus càlculs.

L'anàlisi de les dades macroeconòmiques de 20 països mostra que la mitjana del Producte Interior Brut per càpita ($X$, en milers d'euros) és $\bar{x} = 25$, amb una desviació típica $\sigma_x = 8$. El consum mitjà d'energia per càpita ($Y$, en MWh) és $\bar{y} = 12$, amb una desviació típica $\sigma_y = 4$. Si el coeficient de correlació lineal és $r = 0,85$, determina l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

El diagrama de dispersió següent mostra la relació entre la temperatura aplicada a un aliatge metàl·lic ($X$, en $^\circ\text{C}$) i la seva dilatació tèrmica ($Y$, en mm). A partir de la representació visual del núvol de punts i la recta de regressió ajustada, estima el valor de l'ordenada en l'origen i el pendent de la recta. Posteriorment, prediu la dilatació per a una temperatura de $80^\circ\text{C}$.

Sigui una distribució bidimensional $(X, Y)$ amb covariància $\sigma_{xy} = 15$ i coeficient de correlació $r = 0,6$. Si es realitza una transformació lineal sobre les variables per adaptar-les a una nova escala de mesura, de manera que $U = 2X - 3$ i $V = -0,5Y + 1$, calcula la nova covariància $\sigma_{uv}$ i el nou coeficient de correlació $r_{uv}$ entre $U$ i $V$.

En una enquesta realitzada a 200 estudiants universitaris, s'ha estudiat la relació entre el nombre d'hores setmanals dedicades a l'esport ($X$) i el nivell d'estrès reportat ($Y$, mesurat de 1 a 3). Algunes dades de la taula de contingència s'han esborrat:

Completa la taula sabent que el $30\%$ del total dels enquestats dedica 2 hores a l'esport i té un nivell d'estrès 2. Un cop completa, justifica matemàticament si les variables són estadísticament independents.

Una plataforma de comerç electrònic ha modelat la relació entre el nombre de visites diàries a la pàgina d'un producte ($X$) i el nombre d'unitats venudes ($Y$) mitjançant la recta de regressió $y = 0,04x + 2,5$. El coeficient de correlació és $r = 0,91$ i el rang de visites en la mostra estudiada està entre 100 i 500.

1. a) Estima les vendes si un producte rep 350 visites.
2. b) Estima les vendes si un producte rep 2000 visites.
3. c) Discuteix la fiabilitat de totes dues prediccions basant-te en les dades proporcionades.

En un estudi sobre la relació entre la precipitació anual ($X$, en mm) i la producció de blat ($Y$, en tones per hectàrea), es sap que la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 0,15x - 12$. Si la mitjana de les precipitacions és $\bar{x} = 400$ mm i el coeficient de correlació és $r = 0,75$, troba l'equació de la recta de regressió de $X$ sobre $Y$.

A partir de registres climàtics de l'AEMET en una mateixa comarca de l'interior peninsular durant un dia clar de tardor, es registren l'altitud sobre el nivell del mar ($X$, en centenars de metres) i la temperatura màxima assolida ($Y$, en $^\circ\text{C}$) en 5 localitats:

$A(4; 21)$, $B(6; 19)$, $C(8; 18)$, $D(10; 15)$ i $E(12; 12)$.

1. Abans de realitzar qualsevol càlcul algebraic, estima de manera justificada el signe que ha de tenir la covariància basant-te en el gradient tèrmic vertical de la troposfera i raona si cal esperar una dependència funcional exacta o purament estadística.

2. Calcula les coordenades del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribució i la covariància exacta $\sigma_{xy}$ aplicant la fórmula $\sigma_{xy} = \frac{1}{N}\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y}$.

3. Comprova si el valor numèric obtingut confirma la teva estimació prèvia i explica el significat del signe de la covariància en termes de la variació simultània d'ambdues variables.

En una planta d'envasament d'oli d'oliva verge extra a Jaén, s'analitza la relació entre el temps d'ompliment ($X$, en segons) i el volum net introduït ($Y$, en centilitres) per a $N = 4$ envasos seleccionats en el control de qualitat. Per una fallada informàtica s'han extraviat dues coordenades, i es disposa únicament dels parells $(2; 98)$, $(3; y_2)$, $(x_3; 100)$ i $(7; 102)$. Això no obstant, el registre general conserva dos paràmetres: el centre de gravetat és $(\bar{x}, \bar{y}) = (4; 100)$ i la covariància mostral és $\sigma_{xy} = 2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$.

1. Dedueix els valors perduts $x_3$ i $y_2$ utilitzant exclusivament les propietats de les mitjanes marginals.

2. Amb la sèrie completa dels quatre punts, comprova numèricament que la covariància coincideix amb la dada de l'informe ($2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$).

3. Determina quin valor hauria de prendre l'ordenada del quart punt (substituint $102$ per un nou valor $y_4$, mantenint fixos $x_1, x_2, x_3, x_4$ i reajustant $y_2$ perquè la mitjana $\bar{y} = 100$ no s'alteri) perquè la covariància resulti exactament igual a $0\text{ s}\cdot\text{cl}$.

En una anàlisi sociodemogràfica, s'han obtingut les dues rectes de regressió que relacionen la taxa de natalitat ($X$, en tants per mil) i l'esperança de vida ($Y$, en anys) d'una regió. Les equacions de les rectes són:

$3x + y - 105 = 0$

$x + 2y - 160 = 0$

Identifica raonadament quina és la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i quina és la de $X$ sobre $Y$. Posteriorment, calcula les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$, i el coeficient de correlació lineal $r$.

Demostra matemàticament que si les equacions de les rectes de regressió de $Y$ sobre $X$ i de $X$ sobre $Y$ s'expressen en la forma $y = mx + n$ i $x = m'y + n'$ respectivament, aleshores el coeficient de correlació lineal compleix que $r = \pm \sqrt{m \cdot m'}$. Raona, a més, de què depèn el signe que pren $r$.

S'ha analitzat la relació entre el temps d'assecat d'una pintura industrial ($X$, en hores) i la seva resistència a l'abrasió ($Y$, en un índex de 0 a 100) en 4 proves, i s'han obtingut els parells de valors següents: $(2, 40)$, $(3, 55)$, $(5, k)$, $(6, 85)$.

Si es sap que la mitjana marginal de la resistència és $\bar{y} = 62,5$, determina primer el valor del paràmetre $k$. A continuació, calcula la covariància $\sigma_{xy}$ i el pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

El creixement d'una colònia de bacteris en funció del temps ($X$, en hores) no segueix un model lineal, sinó exponencial de la forma $Y = A \cdot e^{BX}$, on $Y$ és el nombre de bacteris (en milers). Per aplicar tècniques de regressió lineal, es realitza el canvi de variable $Z = \ln Y$.

Les dades transformades $(X, Z)$ donen els resultats marginals i conjunts següents per a 5 observacions: $\bar{x} = 4$, $\bar{z} = 2,1$, $\sigma_x^2 = 2,5$, $\sigma_{xz} = 1,2$.

Calcula els valors dels paràmetres $A$ i $B$ del model exponencial original.

El gràfic de dispersió següent relaciona la concentració d'un contaminant químic en un riu ($X$, en ppm) amb la taxa de mortalitat d'una espècie de peix ($Y$, en %). Observa la presència d'un valor atípic clarament diferenciat de la resta del núvol de punts.

Explica de forma raonada com afectaria l'eliminació d'aquest valor atípic a la covariància $\sigma_{xy}$, al pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i al coeficient de correlació lineal $r$.

D'una distribució estadística bidimensional $(X, Y)$ de mida $N = 10$, es coneixen les sumes següents:

$\sum x_i = 50$, $\sum y_i = 70$, $\sum x_i^2 = 286$, $\sum y_i^2 = 540$, $\sum x_i y_i = 385$.

Calcula el coeficient de determinació $R^2$ i la variància residual $\sigma_e^2$. Interpreta el significat de tots dos valors en el context de la bondat de l'ajust lineal.

En un estudi, les variables $X$ i $Y$ prenen els valors $X \in \{2, 4, 6\}$ i $Y \in \{4, 6, 8\}$. Les distribucions marginals són idèntiques i uniformes (freqüència absoluta de 10 per a cada valor individual, sent la mida de la mostra $N=30$). A més, se sap que la distribució conjunta és perfectament simètrica ($f_{ij} = f_{ji}$) i que la freqüència conjunta per a $X=2$ i $Y=4$ és 8, per a $X=2$ i $Y=6$ és 2, i per a $X=4$ i $Y=6$ és 2.

Calcula la resta de les freqüències conjuntes de la taula i demostra que la covariància d'aquesta distribució és $\sigma_{xy} = 1,6$.

Sigui una distribució bidimensional de variables $(X, Y)$ amb desviacions típiques marginals estrictament positives ($\sigma_x > 0$ i $\sigma_y > 0$). Demostra analíticament que si existeix una relació funcional lineal exacta entre totes dues variables de la forma $Y = aX + b$ (amb $a \neq 0$), aleshores el coeficient de correlació lineal és $r = 1$ si $a > 0$, o $r = -1$ si $a < 0$. (Pista: utilitza les propietats de la mitjana i la variància davant de transformacions lineals).

Un informe sociolaboral en un parc tecnològic d'Astúries analitza la relació entre els anys d'experiència laboral ($X$) i el salari mensual net ($Y$, en centenars d'euros) en una mostra de 6 treballadors classificats en dos departaments professionals:

• Departament A (Suport i Operacions): compost pels empleats $A_1(6; 15)$, $A_2(8; 17)$ i $A_3(10; 19)$.

• Departament B (Desenvolupament i Arquitectura de Programari): compost pels empleats $B_1(1; 26)$, $B_2(3; 28)$ i $B_3(5; 30)$.

• Analitza cada departament per separat: calcula el centre de gravetat i la covariància de cada subgrup ($\sigma_{xy}^A$ i $\sigma_{xy}^B$). Descriu la tendència observada dins de cada sector.

• Modela la mostra global reunint els 6 treballadors en una única distribució bidimensional. Calcula el centre de gravetat global $(\bar{x}, \bar{y})$ i la covariància conjunta $\sigma_{xy}$.

• Contrasta el signe de la covariància global amb els signes obtinguts en cada departament per separat. Com s'anomena aquesta paradoxa estadística? Explica quina és la variable oculta o de confusió que actua en el conjunt i per què agregar subgrups heterogenis sense desagregar pot distorsionar completament les conclusions sociològiques.

Un estudiant sosté la següent afirmació: «Com que la covariància mesura la tendència conjunta entre dues variables, com més gran és el seu valor absolut, més gran és la força o intensitat de la seva dependència lineal; per tant, una distribució amb $\sigma_{xy} = 1500$ presenta una relació lineal molt més forta i determinista que una altra amb $\sigma_{uv} = 0,02$». Demostra raonadament que aquesta conclusió és falsa mitjançant els passos següents:

1. Considera la distribució $D_1$ formada pels quatre punts $(1; 10)$, $(2; 2)$, $(3; 11)$ i $(4; 3)$. Calcula el seu centre de gravetat, la seva covariància $\sigma_{xy}$ i justifica per què la seva dependència lineal és feble. A continuació, defineix dos factors d'escala $a$ i $c$ tals que, en transformar les variables segons $U = aX$ i $V = cY$, la nova covariància $\sigma_{uv}$ superi el valor d'$1\,000\,000$, sense que la disposició relativa del núvol de punts hagi variat en absolut.

2. Dissenya de manera raonada una distribució $D_2$ formada per quatre punts que verifiquin una dependència funcional lineal estricta i decreixent ($y = -0,5x + 10$, de manera que tots els punts estiguin perfectament alineats), però que tinguin les abscisses triades de tal manera que la seva covariància compleixi $|\sigma_{xy}| < 0,02$.

3. A partir dels resultats anteriors, justifica per què la covariància no permet comparar el grau d'associació lineal entre diferents distribucions que tenen unitats o escales diferents, argumentant quina propietat li falta a aquest paràmetre per servir com a indicador universal de correlació.