Distribuciones bidimensionales

Clasifica las siguientes parejas de variables estadísticas bidimensionales según el tipo de correlación lineal (positiva, negativa o nula) que cabe esperar entre ellas:

• El peso de un vehículo y su consumo de combustible por cada 100 km.

• El número de horas de luz solar directa y la cantidad de energía producida por un panel solar.

• El número de calzado de un adulto y su sueldo mensual.

• El tiempo de uso continuo de un ordenador portátil y el porcentaje de batería restante.

En un estudio sobre el rendimiento de 12 servidores, se ha registrado la cantidad de memoria RAM asignada en GB ($X$) y el número de peticiones procesadas por segundo ($Y$). Se sabe que $\sum_{i=1}^{12} x_i y_i = 4500$, la media de la RAM es $\bar{x} = 16$ GB y la media de peticiones es $\bar{y} = 22$. Calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.

En una cooperativa agrícola, se ha registrado la cantidad de fertilizante aplicado en kg/ha ($X$) y el rendimiento de la cosecha en toneladas/ha ($Y$) en 5 parcelas experimentales:

• $X$: 10, 20, 30, 40, 50

• $Y$: 2,5; 3,8; 4,2; 5,5; 6,0

Calcula las medias marginales, las varianzas marginales y la covarianza de esta distribución bidimensional.

Sea una distribución bidimensional $(X, Y)$ con covarianza $\sigma_{xy} = 15$ y coeficiente de correlación $r = -0,6$. Si se realiza una transformación lineal sobre las variables para adaptarlas a una nueva escala de medida, de modo que $U = 2X - 3$ y $V = -0,5Y + 1$, calcula la nueva covarianza $\sigma_{uv}$ y el nuevo coeficiente de correlación $r_{uv}$ entre $U$ y $V$.

Demuestra matemáticamente que si las ecuaciones de las rectas de regresión de $Y$ sobre $X$ y de $X$ sobre $Y$ se expresan en la forma $y = mx + n$ y $x = m'y + n'$ respectivamente, entonces el coeficiente de correlación lineal cumple que $r = \pm \sqrt{m \cdot m'}$. Razona, además, de qué depende el signo que toma $r$.

Observa los siguientes diagramas de dispersión que relacionan distintas variables en tres experimentos diferentes. Asigna razonadamente a cada gráfico uno de los siguientes coeficientes de correlación lineal: $r = -0,92$, $r = 0,05$, $r = 0,88$.

En un estudio, las variables $X$ e $Y$ toman los valores $X \in \{2, 4, 6\}$ e $Y \in \{4, 6, 8\}$. Las distribuciones marginales son idénticas y uniformes (frecuencia absoluta de 10 para cada valor individual, siendo el tamaño de la muestra $N=30$). Además, se sabe que la distribución conjunta es perfectamente simétrica ($f_{ij} = f_{ji}$) y que la frecuencia conjunta para $X=2$ e $Y=4$ es 8, y para $X=2$ e $Y=6$ es 2.

Calcula el resto de las frecuencias conjuntas de la tabla y demuestra que la covarianza de esta distribución es $\sigma_{xy} = 1,6$.