Ejercicios de producto escalar

Calcula el producto escalar de los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 5)$.

Halla el módulo del vector $\vec{w} = (-5, 12)$.

Determina, justificando tu respuesta mediante una operación matemática, si los vectores $\vec{p} = (4, 6)$ y $\vec{q} = (-3, 2)$ son ortogonales.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que los vectores $\vec{u} = (k, 3)$ y $\vec{v} = (2, -4)$ sean perpendiculares.

Encuentra las coordenadas de un vector que sea perpendicular a $\vec{v} = (-7, 2)$ y que tenga exactamente su mismo módulo.

En el motor físico de un videojuego, un personaje situado en la coordenada $P(10, 15)$ debe disparar un proyectil en la dirección del vector $\vec{d} = (3, -4)$ a una velocidad constante de $20$ unidades de distancia por fotograma. Determina el vector velocidad $\vec{v}$ exacto del proyectil, sabiendo que debe tener la misma dirección y sentido que $\vec{d}$ pero con módulo $20$.

Encuentra las coordenadas de un vector $\vec{w} = (x, y)$ sabiendo que su módulo es $\sqrt{13}$ y que su producto escalar con el vector $\vec{v} = (2, 3)$ da como resultado $13$.

En física, el trabajo $W$ realizado por una fuerza constante $\vec{F}$ al desplazar un objeto a lo largo de un vector de desplazamiento $\vec{d}$ se calcula mediante el producto escalar $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una grúa aplica una fuerza $\vec{F} = (150, -40)$ Newtons para mover un contenedor desde el punto $A(2, 5)$ hasta el punto $B(12, 5)$ (coordenadas expresadas en metros), calcula el trabajo total realizado.

Calcula el vector proyección ortogonal del vector $\vec{u} = (4, -3)$ sobre el vector $\vec{v} = (1, 2)$.

Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ y $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Para estabilizar el mástil de una antena de telecomunicaciones, se tensan dos cables anclados en el mismo punto del mástil y amarrados al suelo. Los vectores que representan la dirección de los cables desde el anclaje superior hacia el suelo son $\vec{T_1} = (-4, -5)$ y $\vec{T_2} = (6, -3)$. Calcula el ángulo de separación que forman los dos cables en el punto de amarre superior.

Calcula la distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$ determinando previamente las componentes del vector $\vec{AB}$.

Comprueba, utilizando exclusivamente el producto escalar, si el triángulo definido por los vértices $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ y $C(3, -1)$ es un triángulo rectángulo. En caso afirmativo, indica en qué vértice se encuentra el ángulo recto.