Exercicis: Exercicis de producte escalar

Calcula el producte escalar dels vectors $\vec{u} = (3, -2)$ i $\vec{v} = (-1, 5)$.

Sabent que els mòduls de dos vectors són $|\vec{a}| = 4$ i $|\vec{b}| = 6$, i que l'angle que formen és de $60^\circ$, determina el seu producte escalar.

Troba el mòdul del vector $\vec{w} = (-5, 12)$.

Determina, justificant la teva resposta mitjançant una operació matemàtica, si els vectors $\vec{p} = (4, 6)$ i $\vec{q} = (-3, 2)$ són ortogonals.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè els vectors $\vec{u} = (k, 3)$ i $\vec{v} = (2, -4)$ siguin perpendiculars.

Calcula l'angle que formen els vectors $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ i $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Troba les coordenades d'un vector que sigui perpendicular a $\vec{v} = (-7, 2)$ i que tingui exactament el seu mateix mòdul.

Calcula la distància entre els punts $A(2, -1)$ i $B(5, 3)$ determinant prèviament les components del vector $\vec{AB}$.

La Lucía vol trobar un vector perpendicular a $\vec{u} = (4, -3)$ que tingui exactament el seu mateix mòdul. En el seu examen escriu: «Perquè dos vectors siguin perpendiculars n'hi ha prou de canviar el signe de les seves coordenades, per la qual cosa el vector buscat és $\vec{v} = (-4, 3)$».\na) Explica detalladament l'error conceptual de la Lucía calculant el producte escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$ i indica quina relació geomètrica tenen en realitat $\vec{u}$ i $\vec{v}$.\nb) Escriu les components dels dos vectors que sí que són perpendiculars a $\vec{u}$ i tenen el seu mateix mòdul, demostrant mitjançant el producte escalar per què la regla del gir de components $(-u_2, u_1)$ garanteix la perpendicularitat.

Determina les components d'un vector $\vec{w}$ que compleixi simultàniament les tres condicions següents:\n1) És perpendicular al vector $\vec{u} = (3, -4)$.\n2) La seva primera component (abscissa) és estrictament positiva.\n3) El seu mòdul és exactament $15$.\nPer resoldre-ho, obtén primer un vector unitari perpendicular a $\vec{u}$ i raona com transformar-lo perquè tingui el mòdul requerit sense modificar-ne la direcció ni el sentit.

En física, el treball $W$ realitzat per una força constant $\vec{F}$ en desplaçar un objecte al llarg d'un vector de desplaçament $\vec{d}$ es calcula mitjançant el producte escalar $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una grua aplica una força $\vec{F} = (150, -40)$ newtons per moure un contenidor des del punt $A(2, 5)$ fins al punt $B(12, 5)$ (coordenades expressades en metres), calcula el treball total realitzat.

Calcula el vector projecció ortogonal del vector $\vec{u} = (4, -3)$ sobre el vector $\vec{v} = (1, 2)$.

Determina els possibles valors del paràmetre $m$ perquè els vectors $\vec{u} = (m, 1)$ i $\vec{v} = (2, m)$ formin un angle de $30^\circ$.

En el motor físic d'un videojoc, un personatge situat en la coordenada $P(10, 15)$ ha de disparar un projectil en la direcció del vector $\vec{d} = (3, -4)$ a una velocitat constant de $20$ unitats de distància per fotograma. Determina el vector velocitat $\vec{v}$ exacte del projectil, sabent que ha de tenir la mateixa direcció i sentit que $\vec{d}$ però amb mòdul $20$.

Troba les coordenades d'un vector $\vec{w} = (x, y)$ sabent que el seu mòdul és $\sqrt{13}$ i que el seu producte escalar amb el vector $\vec{v} = (2, 3)$ dona com a resultat $13$.

Comprova, utilitzant exclusivament el producte escalar, si el triangle definit pels vèrtexs $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ i $C(3, -1)$ és un triangle rectangle. En cas afirmatiu, indica en quin vèrtex es troba l'angle recte.

Dats els vectors $\vec{a} = (3, -1)$ i $\vec{b} = (1, 3)$, expressa el vector $\vec{c} = (7, 1)$ com a combinació lineal de $\vec{a}$ i $\vec{b}$. Un cop resolt, calcula el producte escalar de $\vec{a}$ i $\vec{b}$ i interpreta geomètricament el resultat.

Per estabilitzar el màstil d'una antena de telecomunicacions, es tensen dos cables ancorats en el mateix punt del màstil i amarrats a terra. Els vectors que representen la direcció dels cables des de l'ancoratge superior cap a terra són $\vec{T_1} = (-4, -5)$ i $\vec{T_2} = (6, -3)$. Calcula l'angle de separació que formen els dos cables en el punt d'amarrament superior.

Per comprovar si el triangle de vèrtexs $A(1, 2)$, $B(5, 5)$ i $C(-2, 6)$ és rectangle, dos companys de classe proposen estratègies diferents:\n- La Irene proposa calcular els vectors dels costats que comparteixen cada vèrtex i comprovar si el producte escalar d'algun parell d'aquests és igual a $0$.\n- El David proposa calcular la longitud dels tres costats mitjançant distàncies entre punts i comprovar si les mesures obtingudes verifiquen el teorema de Pitàgores ($a^2 + b^2 = c^2$).\na) Aplica el mètode de la Irene calculant els vectors corresponents i determina en quin vèrtex es troba l'angle recte, si existeix.\nb) Analitza i justifica quin dels dos mètodes és més avantatjós en geometria analítica, considerant la quantitat d'operacions requerides i la manipulació d'arrels quadrades.

Al parc eòlic d'Higueruela (Albacete), els tècnics monitoritzen el desplaçament d'un carro de manteniment al llarg d'un rail guia rectilini des del punt $A(1, 4)$ fins al punt $B(7, 12)$, amb coordenades expressades en metres. Durant aquest trajecte, el vent exerceix una força constant sobre el carro registrada pels sensors com a $\vec{F} = (80, -30)$ Newtons.\na) Determina el vector desplaçament $\vec{d} = \vec{AB}$ i calcula el treball mecànic $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ exercit pel vent.\nb) Interpreta el signe del treball obtingut: el vent afavoreix o dificulta l'avanç del carro?\nc) Calcula l'angle $\alpha$ que formen el vector força $\vec{F}$ i el vector desplaçament $\vec{d}$ (arredonint a les dècimes de grau) i justifica si aquest angle és coherent amb la teva interpretació del signe del treball.

Dels vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ sabem que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ i que formen un angle de $120^\circ$. Aplicant les propietats del producte escalar, calcula el valor exacte de l'expressió $(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$.

Un braç robòtic industrial es desplaça en un pla bidimensional. La seva pinça es troba inicialment en el punt $P(2, 5)$ i s'ha de moure en línia recta fins a un punt $Q$ situat sobre una cinta transportadora, la trajectòria de la qual està definida per la recta $x - 2y + 4 = 0$. Si el vector de desplaçament $\vec{PQ}$ ha de ser ortogonal a la direcció de la cinta transportadora, determina les coordenades exactes del punt $Q$.

Demostra de forma vectorial, utilitzant les propietats del producte escalar, que les diagonals de qualsevol rombe es tallen perpendicularment. Per a fer-ho, considera un rombe generat per dos vectors lliures $\vec{u}$ i $\vec{v}$ que parteixen del mateix vèrtex i compleixen que $|\vec{u}| = |\vec{v}|$.

Troba les coordenades de tots els vectors $\vec{a} = (x, y)$ que formin un angle exacte de $45^\circ$ amb el vector $\vec{b} = (2, -2)$ i el mòdul dels quals sigui exactament la meitat del mòdul de $\vec{b}$.

En la instal·lació d'un panell solar, el vector normal (perpendicular a la superfície del panell) ve donat per $\vec{n} = (k, \sqrt{3})$. Els raigs del sol incideixen sobre el panell segons el vector $\vec{s} = (1, -1)$. Calcula el valor positiu del paràmetre $k$ perquè l'angle d'incidència (l'angle format entre el vector normal $\vec{n}$ i el vector oposat als raigs del sol $-\vec{s}$) sigui de $60^\circ$.

Dats els punts $A(-2, 1)$ i $B(4, 5)$, troba les coordenades d'un punt $C$ situat sobre l'eix d'abscisses de manera que el triangle $ABC$ sigui rectangle amb l'angle recte al vèrtex $C$. Quantes solucions possibles hi ha per al punt $C$?

Sabent que $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són dos vectors unitaris, determina l'angle que han de formar entre ells perquè el vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ tingui un mòdul igual a $\sqrt{3}$.

Calcula l'àrea exacta del triangle determinat pels vèrtexs $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ i $C(3, 6)$. Per a fer-ho, utilitza la projecció ortogonal del vector $\vec{AC}$ sobre el vector $\vec{AB}$ per a determinar l'altura del triangle, i el mòdul de $\vec{AB}$ com a base.

Es consideren els vectors fixos del pla $\vec{u} = (1, 5)$ i $\vec{v} = (2, 1)$. Per a cada valor del paràmetre real $t$, es defineix el vector combinat $\vec{w}(t) = \vec{u} + t\vec{v}$. Es busca el valor exacte de $t$ per al qual $\vec{w}(t)$ resulta ser perpendicular a $\vec{v}$.\na) Abans de calcular, fes una estimació qualitativa raonada: esbossa la posició relativa de $\vec{u}$ i $\vec{v}$ al primer quadrant. Atès que formen un angle agut, el paràmetre $t$ ha de ser positiu o negatiu perquè la combinació lineal assoleixi una direcció ortogonal a $\vec{v}$? Estima raonadament entre quins dos nombres enters consecutius s'ha de situar $t$.\nb) Planteja la condició algebraica mitjançant el producte escalar $\vec{w}(t) \cdot \vec{v} = 0$ i troba el valor exacte de $t$.\nc) Comprova si el resultat numèric confirma la teva estimació prèvia i explica geomètricament per què aquest vector $\vec{w}(t)$ representa el segment de longitud mínima que uneix l'extrem de $\vec{u}$ amb la recta que conté $\vec{v}$.

A l'espai aeri proper a Madrid-Barajas, la trajectòria de sortida d'una aeronau segueix el vector de direcció $\vec{d} = (12, 5)$ en milles nàutiques. Per motius de separació de trànsit, s'ha de programar una maniobra d'escapada descrita per un vector $\vec{v} = (x, y)$ que compleixi simultàniament tres condicions:\n1) Ha de ser estrictament perpendicular a la trajectòria $\vec{d}$.\n2) El seu mòdul ha de ser exactament de $39$ milles nàutiques.\n3) Ha de presentar una component a favor del vent dominant $\vec{w} = (1, 2)$, cosa que exigeix que $\vec{v} \cdot \vec{w} > 0$.\na) Determina les components cartesianes exactes del vector d'escapada $\vec{v}$ després d'avaluar quina de les dues orientacions perpendiculars possibles satisfà la restricció imposada pel vent.\nb) Demostra analíticament que, per a qualsevol vector genèric no nul $\vec{u} = (u_1, u_2)$, els dos únics vectors perpendiculars a aquest que posseeixen un mòdul fixat $m > 0$ venen donats per l'expressió $\vec{p} = \pm m \cdot \dfrac{(-u_2, u_1)}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}}$, justificant cada pas a partir del producte escalar i del concepte de vector unitari.

Repte del tema. Com orientar un panell solar per maximitzar l'energia captada a la teva localitat?

1. Recollida de dades: Consulta al web de l'AEMET o PVGIS l'altitud i l'azimut del Sol al teu municipi en quatre moments d'un dia assolellat. Escriu les coordenades del vector unitari solar $\vec{s}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ per a cada instant mesurat.

2. Modelització amb producte escalar: Defineix el vector unitari perpendicular a la placa $\vec{n}$, dependent de l'angle d'inclinació $\theta$. La potència relativa captada ve donada pel producte escalar $P(\theta) = \vec{s} \cdot \vec{n} = |\vec{s}| |\vec{n}| \cos(\alpha)$ (si resulta negatiu, el Sol és darrere la placa i es pren $P = 0$). Introdueix les dades a GeoGebra o en un full de càlcul i calcula $P(\theta)$ per a diferents angles (amb increments de $5^\circ$ o $0,1$ rad).

3. Optimització amb derivades: Modela la funció d'energia total captada en funció de l'angle $\theta$, $E(\theta)$. Aplica exercicis de derivades: troba la taxa de canvi instantània $E'(\theta)$ i identifica l'angle òptim resolent $E'(\theta) = 0$.

Lliura un informe tècnic breu amb les teves dades, la taula de valors, les derivades calculades i la teva proposta raonada d'inclinació.

Es valorarà:

• Precisió en extreure les dades reals i formular els vectors directors.

• Aplicació rigorosa del producte escalar per modelar l'energia projectada.

• Destresa en el càlcul i interpretació geomètrica de les derivades per optimitzar l'angle.

• Claredat i justificació formal a l'informe final.