Exercicis: Taxa de variació mitjana d'una funció

Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = 3x - 5$ en l'interval $[1, 4]$. Coincideix aquest valor amb el pendent de la recta que representa la funció?

Troba la taxa de variació mitjana de la funció quadràtica $g(x) = x^2 - 4x + 1$ en els intervals $[0, 2]$ i $[2, 4]$.

Donada la funció $h(t) = t^3 + 2t$, determina la seva taxa de variació mitjana en l'interval $[-1, 2]$.

Calcula la taxa de variació mitjana de la funció racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ en l'interval $[2, 5]$.

Troba la taxa de variació mitjana de la funció radical $p(x) = \sqrt{x + 3}$ en l'interval $[1, 6]$.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ representada a la figura. Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[-2, 2]$. Quina interpretació geomètrica té aquest valor respecte de la recta secant traçada?

La distància en metres recorreguda per un ciclista en funció del temps en segons ve donada per l'expressió $d(t) = 2t^2 + 5t$. Quina ha sigut la seva velocitat mitjana entre els instants $t = 2$ i $t = 5$?

La temperatura en graus Celsius d'un forn industrial evoluciona segons la funció $T(t) = 20 + 5t - t^2$, on $t$ és el temps en minuts. Calcula la taxa de variació mitjana de la temperatura en els primers $3$ minuts.

L'Elena intenta calcular la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = x^2 - 3x$ a l'interval $[2, 5]$. Al seu examen escriu el desenvolupament següent:

1. a) Localitza l'error conceptual comès per l'Elena i explica amb les teves paraules per què la taxa de variació mitjana no equival a avaluar la funció en l'amplitud de l'interval.
2. b) Calcula de manera correcta la $\text{TVM}[2, 5]$ mostrant tots els passos.
3. c) A partir del signe del resultat obtingut a l'apartat anterior, descriu la inclinació de la recta secant que passa pels punts d'abscisses $x = 2$ i $x = 5$.

En una jornada d'estiu a Sevilla, els registres meteorològics indiquen que la temperatura $T$ (en graus Celsius) entre les $10:00$ ($t = 0$) i les $16:00$ ($t = 6$) s'ajusta a un model lineal a trossos:

1. a) Calcula la taxa de variació mitjana de la temperatura a l'interval $[0, 4]$ i a l'interval $[4, 6]$. No oblidis indicar les unitats de mesura dels resultats.
2. b) Sense fer cap operació numèrica addicional, dedueix quin és el valor de $\text{TVM}[1, 3]$. Justifica la teva resposta utilitzant les propietats de la taxa de variació mitjana en funcions afins.
3. c) Calcula la $\text{TVM}[0, 6]$ en tot el període i interpreta el seu significat físic.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = kx^2 - 3x + 2$ en l'interval $[1, 3]$ sigui igual a $5$.

Compara la taxa de variació mitjana de les funcions $f(x) = 2^x$ i $g(x) = x^3$ en l'interval $[2, 4]$. Quina de les dues funcions experimenta un creixement mitjà més gran en aquest interval?

El nombre de bacteris en un cultiu de laboratori després de $t$ hores es modelitza mitjançant la funció $N(t) = 500 \cdot e^{0,2t}$. Calcula la taxa de variació mitjana de la població en l'interval de temps comprès entre $t = 0$ i $t = 5$ hores. Expressa el resultat en funció del nombre $e$.

Els beneficis mensuals d'una empresa, en milers d'euros, venen donats per la funció $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, on $x$ és la quantitat invertida en publicitat en milers d'euros. Calcula la taxa de variació mitjana del benefici si la inversió en publicitat passa de $3$ a $6$ milers d'euros, i interpreta el resultat.

Donada la funció $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, troba l'equació de la recta secant que passa pels punts de la gràfica amb abscisses $x = 1$ i $x = 4$. Quina relació té el pendent d'aquesta recta amb la taxa de variació mitjana en aquest interval?

Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = \frac{1}{x}$ en l'interval genèric $[a, a+h]$, simplificant l'expressió resultant tant com sigui possible.

Des de dalt d'un penya-segat es llança verticalment cap amunt una bengala de salvament. La seva altura en metres respecte al nivell del mar després de $t$ segons ve donada per $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$. Determina la velocitat mitjana de la bengala en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$. Què indica el signe dels resultats obtinguts?

El gràfic següent mostra el volum d'aigua $V(t)$, en litres, que conté un dipòsit al llarg de $8$ hores. A partir dels punts destacats en la gràfica, calcula la taxa de variació mitjana del volum en els intervals $[0, 4]$ i $[4, 8]$. En quin període el buidatge ha sigut més ràpid en mitjana?

Considera la funció exponencial $f(x) = 2^x$.

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric, observa el comportament general d'una funció exponencial i estima raonadament quina de les dues taxes serà més gran: $\text{TVM}[0, 2]$ o $\text{TVM}[2, 4]$. Esperes que totes dues siguin positives?
2. b) Calcula amb exactitud $\text{TVM}[0, 2]$ i $\text{TVM}[2, 4]$. Comprova si el resultat numèric confirma la teva estimació prèvia.
3. c) Pot existir alguna funció polinòmica no constant per a la qual es compleixi que $\text{TVM}[0, 2] = \text{TVM}[2, 4]$? Justifica quin tipus de funció compliria aquesta igualtat i per què no li passa això a $f(x) = 2^x$.

Es vol estudiar la taxa de variació mitjana de la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ en tres intervals que parteixen del mateix punt $a = 1$: $[1, 2]$, $[1; 1,5]$ i $[1; 1,1]$. Dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• Mètode de la Clara: calcular per separat $f(b)$ i $f(1)$ per a cada extrem i aplicar la fórmula $\text{TVM} = \frac{f(b) - f(1)}{b - 1}$ tres vegades de manera independent.

• Mètode d'en Daniel: expressar l'extrem superior com a $1+h$, deduir una fórmula algebraica general simplificada per a $\text{TVM}[1, 1+h] = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ en funció de l'increment $h$, i després particularitzar substituint $h = 1$, $h = 0,5$ i $h = 0,1$.

1. a) Aplica el mètode d'en Daniel: desenvolupa i simplifica al màxim l'expressió algebraica de la $\text{TVM}[1, 1+h]$ i troba els tres valors demanats.
2. b) Aplica el mètode de la Clara únicament per a l'interval $[1; 1,1]$ i verifica que tots dos mètodes condueixen exactament al mateix resultat.
3. c) Argumenta quin dels dos mètodes resulta més avantatjós quan s'han d'avaluar molts intervals que comparteixen l'origen $a = 1$, i explica com l'expressió obtinguda per en Daniel permet deduir la tendència de la taxa quan l'increment $h$ es fa pràcticament zero.

La taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 + c$ en l'interval $[1, b]$ és igual a $6$. Sabent que $b > 1$, determina el valor de $b$. Depèn el resultat del valor de la constant $c$?

Se sap que una funció quadràtica de la forma $f(x) = ax^2 + bx + 5$ té una taxa de variació mitjana de $1$ en l'interval $[0, 2]$ i de $9$ en l'interval $[2, 4]$. Planteja un sistema d'equacions i troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$.

Demostra analíticament que la taxa de variació mitjana de qualsevol funció afí $f(x) = mx + n$ en un interval arbitrari $[a, b]$ és sempre constant i igual a $m$.

La llei de refredament de Newton estableix que la temperatura d'un objecte s'apropa a la temperatura ambient de forma exponencial. Un enginyer modelitza la temperatura d'una peça metàl·lica en graus Celsius després de $t$ minuts mitjançant $T(t) = 25 + 150 \cdot (0,8)^t$. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[0, 5]$ i $[5, 10]$. Quina conclusió treus sobre el ritme de refredament a mesura que passa el temps?

Considera la funció $f(x) = \frac{4}{x}$. La recta secant a la gràfica de $f(x)$ que passa pels punts d'abscisses $x = 1$ i $x = 4$ forma un triangle rectangle amb els semieixos positius de coordenades. Calcula l'àrea d'aquest triangle.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{4}{x} - 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[0, 4]$. Comprova si la funció és contínua en $x=2$ i raona si això afecta el càlcul de la taxa de variació mitjana.

Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = \sqrt{x+2}$ en l'interval $[2, 2+h]$. A continuació, determina a quin valor s'aproxima aquesta taxa de variació quan $h$ tendeix a $0$.

La força d'atracció gravitatòria entre la Terra i un satèl·lit varia en funció de la distància $r$ (en milers de km) des del centre de la Terra segons l'expressió $F(r) = \frac{4 \cdot 10^5}{r^2}$. Calcula la taxa de variació mitjana de la força quan la distància passa de $10$ a $20$ milers de km. Interpreta el significat del signe del resultat obtingut.

Es vol determinar una funció quadràtica de la forma $f(x) = ax^2 + bx$ (sense terme independent) que verifiqui simultàniament dues condicions sobre el seu ritme de canvi:

1. La seva taxa de variació mitjana a l'interval $[0, 2]$ és igual a $5$.

2. La seva taxa de variació mitjana a l'interval $[1, 4]$ és igual a $11$.

1. a) Planteja un sistema d'equacions lineals a partir de la definició de TVM i calcula els valors exactes dels coeficients $a$ i $b$.
2. b) Per a la funció obtinguda, pren un interval simètric d'amplitud $2h$ centrat en qualsevol abscissa $x_0$, és a dir, $[x_0 - h, x_0 + h]$. Demostra algebraicament que $\text{TVM}[x_0 - h, x_0 + h]$ depèn exclusivament del centre $x_0$ i no depèn en absolut de l'amplitud $h$.
3. c) Comprova si aquesta propietat es manté per a la funció cúbica $g(x) = x^3$ avaluant i comparant $\text{TVM}[-1, 1]$ i $\text{TVM}[-2, 2]$ (tots dos intervals centrats a $x_0 = 0$). Conclou justificadament si aquesta independència de l'amplitud és una característica general o específica de certes famílies de funcions.

La Direcció General de Trànsit (DGT) controla un tram de $6\text{ km}$ a l'autovia A-6 mitjançant un radar de tram. En aquest sector, la velocitat màxima permesa és de $90\text{ km/h}$. Un vehicle accedeix al tram a les $12:00:00$ ($t = 0\text{ h}$) i la seva posició $s(t)$ en quilòmetres dins del tram ve descrita per la funció $s(t) = 96t - 288t^2$, on el temps $t$ es mesura en hores.

1. a) Planteja l'equació corresponent per calcular l'hora exacta en què el vehicle arriba als $6\text{ km}$ i surt del tram. Expressa el temps transcorregut en minuts exactes.
2. b) Calcula la taxa de variació mitjana de la posició en el recorregut complet del tram, $\text{TVM}[0, t_{\text{sortida}}]$, i interpreta el seu resultat com la velocitat mitjana del vehicle en $\text{km/h}$. Sancionarà el radar de tram aquest conductor?
3. c) Un informe preliminar assegura: «Com que la velocitat mitjana en el tram ha estat inferior a $90\text{ km/h}$, el vehicle ha respectat el límit de velocitat al llarg de tot el trajecte». Refuta matemàticament aquesta afirmació: calcula la $\text{TVM}[0; 1/60]$ corresponent al primer minut de trajecte, compara aquest valor amb el límit legal de $90\text{ km/h}$ i reflexiona sobre la diferència fonamental entre la taxa de variació mitjana en un interval i la velocitat real instantània.