Tasa de variación media de una función
Un coche recorre 150 km en 2 horas: su velocidad media es 75 km/h, pero eso no dice nada de cómo fue el viaje a cada instante. Lo mismo pasa con cualquier función: la tasa de variación media mide cuánto cambia, de promedio, entre dos puntos. En este tema vas a formalizarla y a dejarla lista para el paso siguiente: achicar el intervalo hasta un único punto.
Tasa de variación media: definición y cálculo
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = 3x - 5$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Coincide este valor con la pendiente de la recta que representa a la función?
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = 3x - 5$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Coincide este valor con la pendiente de la recta que representa a la función?
Halla la tasa de variación media de la función cuadrática $g(x) = x^2 - 4x + 1$ en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 4]$.
Halla la tasa de variación media de la función cuadrática $g(x) = x^2 - 4x + 1$ en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 4]$.
Interpretación geométrica: la recta secante
Esto funciona igual para cualquier tipo de función: polinómica, racional o con radicales. Solo cambia la expresión que sustituyes.
Calcula la tasa de variación media de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ en el intervalo $[2, 5]$.
Calcula la tasa de variación media de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ en el intervalo $[2, 5]$.
Encuentra la tasa de variación media de la función radical $p(x) = \sqrt{x + 3}$ en el intervalo $[1, 6]$.
Encuentra la tasa de variación media de la función radical $p(x) = \sqrt{x + 3}$ en el intervalo $[1, 6]$.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada en la figura. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[-2, 2]$. ¿Qué interpretación geométrica tiene…
Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada en la figura. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[-2, 2]$. ¿Qué interpretación geométrica tiene este valor con respecto a la recta secante trazada?
La TVM en un intervalo genérico $[a, a+h]$
Para estudiar lo que pasa justo en un punto $x=a$ conviene escribir el otro extremo como $a+h$, con $h$ el tamaño del paso. Así la TVM queda en función de $h$, y se puede ver qué ocurre al achicarlo.
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en el intervalo genérico $[a, a+h]$, simplificando la expresión resultante lo máximo posible.
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en el intervalo genérico $[a, a+h]$, simplificando la expresión resultante lo máximo posible.
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = \sqrt{x+2}$ en el intervalo $[2, 2+h]$. A continuación, determina a qué valor se aproxima esta tasa de variación…
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = \sqrt{x+2}$ en el intervalo $[2, 2+h]$. A continuación, determina a qué valor se aproxima esta tasa de variación cuando $h$ tiende a $0$.
La TVM como velocidad media y otras magnitudes
Cuando $f$ mide una posición en función del tiempo, la TVM es la velocidad media. La misma idea sirve para cualquier otra magnitud: temperatura, volumen de un depósito, beneficio de una empresa.
La distancia en metros recorrida por un ciclista en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $d(t) = 2t^2 + 5t$. ¿Cuál ha sido su velocidad media entre…
La distancia en metros recorrida por un ciclista en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $d(t) = 2t^2 + 5t$. ¿Cuál ha sido su velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 5$?
Los beneficios mensuales de una empresa, en miles de euros, vienen dados por la función $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, donde $x$ es la cantidad invertida en publicidad en…
Los beneficios mensuales de una empresa, en miles de euros, vienen dados por la función $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, donde $x$ es la cantidad invertida en publicidad en miles de euros. Calcula la tasa de variación media del beneficio si la inversión en publicidad pasa de $3$ a $6$ miles de euros, e interpreta el resultado.
Desde lo alto de un acantilado se lanza verticalmente hacia arriba una bengala de salvamento. Su altura en metros respecto al nivel del mar tras $t$ segundos viene dada…
Desde lo alto de un acantilado se lanza verticalmente hacia arriba una bengala de salvamento. Su altura en metros respecto al nivel del mar tras $t$ segundos viene dada por $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$. Determina la velocidad media de la bengala en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. ¿Qué indica el signo de los resultados obtenidos?
Comparar tasas de variación y casos especiales
No todas las funciones crecen igual. Comparar la TVM de dos funciones en el mismo intervalo permite saber cuál cambia más rápido de media en ese tramo, aunque esa comparación puede invertirse en otro intervalo.
Compara la tasa de variación media de las funciones $f(x) = 2^x$ y $g(x) = x^3$ en el intervalo $[2, 4]$. ¿Cuál de las dos funciones experimenta un mayor crecimiento…
Compara la tasa de variación media de las funciones $f(x) = 2^x$ y $g(x) = x^3$ en el intervalo $[2, 4]$. ¿Cuál de las dos funciones experimenta un mayor crecimiento medio en dicho intervalo?
Demuestra analíticamente que la tasa de variación media de cualquier función afín $f(x) = mx + n$ en un intervalo arbitrario $[a, b]$ es siempre constante e igual a $m$.
Demuestra analíticamente que la tasa de variación media de cualquier función afín $f(x) = mx + n$ en un intervalo arbitrario $[a, b]$ es siempre constante e igual a $m$.