Derivada de un polinomio
En 4º ya derivaste polinomios sencillos con la regla de la potencia. Ahora ese cálculo se convierte en herramienta de trabajo: vas a derivar con rapidez y seguridad polinomios de cualquier grado, calcular derivadas segundas y terceras, y usarlas para resolver problemas reales de física, economía y geometría. La velocidad y la soltura en esta sección son la base de todo el bloque de cálculo.
Regla de la potencia y linealidad
Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica: $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.
Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica: $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.
Calcula la derivada de la función $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ realizando primero el producto de los polinomios.
Calcula la derivada de la función $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ realizando primero el producto de los polinomios.
Valor de la derivada en un punto
Una vez obtenida la función derivada $f'(x)$, para conocer la pendiente (o el ritmo de cambio) en un punto concreto basta sustituir su abscisa en $f'(x)$. No hay que derivar de nuevo cada vez.
Halla el valor de la derivada de la función $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ en el punto de abscisa $x = -1$.
Halla el valor de la derivada de la función $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ en el punto de abscisa $x = -1$.
El perfil de un cable de un puente colgante se aproxima mediante la parábola $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$, donde $x$ e $y$ se miden en metros. Calcula la pendiente del…
El perfil de un cable de un puente colgante se aproxima mediante la parábola $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$, donde $x$ e $y$ se miden en metros. Calcula la pendiente del cable en el punto situado a $40$ metros del origen.
Puntos singulares: $f'(x)=0$
Determina los puntos singulares (aquellos donde la derivada se anula) de la función cuadrática $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.
Determina los puntos singulares (aquellos donde la derivada se anula) de la función cuadrática $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.
Encuentra las coordenadas de los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer…
Encuentra las coordenadas de los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Derivadas sucesivas
Calcula la segunda derivada, $f''(x)$, de la función polinómica $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.
Calcula la segunda derivada, $f''(x)$, de la función polinómica $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.
Aplicaciones: tangentes y optimización con polinomios
Las tres ideas anteriores (derivar, evaluar en un punto, igualar a cero) son las que resuelven casi todos los problemas de este bloque: pendientes de tangentes, costes marginales, velocidades instantáneas y valores óptimos.
El coste de producción, en euros, de fabricar $x$ unidades de un producto artesanal viene dado por $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$. Halla la función de coste marginal,…
El coste de producción, en euros, de fabricar $x$ unidades de un producto artesanal viene dado por $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$. Halla la función de coste marginal, $C'(x)$.
El número de usuarios registrados en una aplicación de productividad, en miles, evoluciona según la función $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, donde $t$ es el tiempo en…
El número de usuarios registrados en una aplicación de productividad, en miles, evoluciona según la función $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Determina la tasa de crecimiento del número de usuarios en el instante $t = 5$ meses e indica si en ese momento el ritmo de crecimiento está aumentando o disminuyendo.
Una empresa fabrica y vende $x$ unidades de un artículo tecnológico. La función de ingresos viene dada por $I(x) = 1200x - 2x^2$ y la función de costes totales es…
Una empresa fabrica y vende $x$ unidades de un artículo tecnológico. La función de ingresos viene dada por $I(x) = 1200x - 2x^2$ y la función de costes totales es $C(x) = x^3 - 15x^2 + 400x + 1500$. Determina el número de unidades que deben producirse para maximizar el beneficio y calcula dicho beneficio máximo.