Exercicis: Derivada d'un polinomi

Calcula la funció derivada de la funció polinòmica següent: $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.

Donada la funció que descriu la trajectòria d'una partícula $s(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2$, on $s$ es mesura en metres i $t$ en segons, determina l'expressió de la seva velocitat instantània $v(t)$.

Troba el valor de la derivada de la funció $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ en el punt d'abscissa $x = -1$.

Determina els punts singulars (aquells on la derivada s'anul·la) de la funció quadràtica $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.

Calcula la segona derivada, $f''(x)$, de la funció polinòmica $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.

El cost de producció, en euros, de fabricar $x$ unitats d'un producte artesanal ve donat per $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$. Troba la funció de cost marginal, $C'(x)$.

Determina el pendent de la recta tangent a la corba $y = x^3 - 5x + 2$ en el punt on interseca l'eix d'ordenades.

Calcula la derivada de la funció $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ realitzant primer el producte dels polinomis.

En una tasca de classe, en Carlos havia de derivar la funció polinòmica $f(x) = 4x^3 - 7x + 5^2$. Al seu quadern va escriure el següent procediment:

1. a) Localitza i explica detalladament l'error conceptual que ha comès en Carlos en derivar el terme $5^2$. Per què no és correcte aplicar la regla de la potència $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ a una base constant?
2. b) Escriu l'expressió correcta de la funció derivada $f'(x)$.
3. c) Calcula el valor de $f'(2)$ i interpreta el seu significat geomètric respecte a la recta tangent a la corba a $x = 2$.

Un informe meteorològic de l'AEMET modelitza la temperatura $T$ (en graus Celsius) registrada en una localitat durant un matí clar mitjançant el polinomi $T(t) = -0,5t^2 + 5t + 10$, on $t$ és el temps transcorregut en hores des de les 7:00 ($0 \le t \le 8$).

1. a) Sense calcular la derivada encara, estima de manera raonada si a les 9:00 ($t = 2$) la temperatura estarà augmentant de manera notable o disminuint, basant-te en l'evolució natural del dia i en els signes dels coeficients del polinomi.
2. b) Troba la funció derivada $T'(t)$ i calcula la taxa de variació instantània exacta a les 9:00 ($t = 2$), indicant clarament les seves unitats de mesura ($^{\circ}\text{C}/\text{h}$).
3. c) Comprova si el valor numèric i el signe obtinguts confirmen la teva estimació prèvia i explica quin significat físic tindria que la derivada fos exactament $0$.

El perfil d'un cable d'un pont penjant s'aproxima mitjançant la paràbola $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$, on $x$ i $y$ es mesuren en metres. Calcula el pendent del cable en el punt situat a $40$ metres de l'origen.

Troba les coordenades dels punts de la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ en els quals la recta tangent és paral·lela a la bisectriu del primer quadrant.

El nombre d'usuaris registrats en una aplicació de productivitat, en milers, evoluciona segons la funció $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament. Determina la taxa de creixement del nombre d'usuaris en l'instant $t = 5$ mesos i indica si en aquest moment el ritme de creixement està augmentant o disminuint.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la paràbola $y = ax^2 + bx + 5$ passi pel punt $(1, 2)$ i tingui en aquest punt una recta tangent amb pendent igual a $-1$.

Es llança un projectil verticalment cap amunt. La seva altitud en metres després de $t$ segons ve donada per $h(t) = -4,9t^2 + 29,4t + 1,5$. Calcula el temps que triga a assolir la seva altitud màxima sabent que en aquest punt la seva velocitat instantània és nul·la.

Troba l'equació de la recta tangent a la funció $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ en el seu vèrtex.

El nivell de contaminació acústica en una cruïlla urbana des de les 8:00 fins a les 18:00 hores es modelitza mitjançant la funció $N(t) = 0,1t^3 - 1,5t^2 + 6t + 60$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des de les 8:00. Determina l'instant $t$ en què el nivell de soroll disminueix més ràpidament.

Troba l'abscissa dels punts de la corba $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x$ on la recta tangent forma un angle de $45^\circ$ amb el semieix positiu d'abscisses.

Per localitzar els punts amb tangent horitzontal de la corba polinòmica $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8$, dos estudiants proposen camins diferents:

• L'Hugo proposa resoldre l'equació $f(x) = 0$ per trobar els talls amb l'eix horitzontal i assumir que els punts singulars estaran exactament en el punt mitjà de cada parell de talls consecutius, basant-se en la simetria que recordava de les paràboles.

• La Irene proposa calcular la funció derivada $f'(x)$ i resoldre directament l'equació $f'(x) = 0$.

1. a) Compara críticament ambdós plantejaments: justifica per què l'estratègia de l'Hugo no és vàlida per a aquest polinomi cúbic i aclareix per a quin tipus específic de polinomis sí que funcionaria la seva intuïció geomètrica.
2. b) Aplica el mètode correcte per trobar les abscisses de tots els punts singulars de $f(x)$.
3. c) Calcula les coordenades completes $(x, y)$ d'aquests punts singulars i classifica'ls raonadament (màxim o mínim relatiu) estudiant el signe de $f'(x)$ a l'esquerra i a la dreta de cadascun.

A partir dels registres de Red Eléctrica de España (REE), la potència solar fotovoltaica generada a la xarxa peninsular durant les hores centrals d'un dia de primavera es pot aproximar mitjançant la funció cúbica:

on $P(t)$ és la potència generada en gigawatts ($\text{GW}$) i $t$ és l'hora solar del dia, vàlida en l'interval $10 \le t \le 16$.

1. a) Modelitza el ritme de canvi instantani de la producció solar obtenint la funció derivada $P'(t)$. Especifica en quines unitats físiques es mesura $P'(t)$.
2. b) Avalua $P'(12)$ i $P'(15)$. A partir del signe i del valor obtingut en cada cas, interpreta què passa amb la generació d'energia solar a les 12:00 i a les 15:00.
3. c) Determina a quina hora exacta del dia el ritme de canvi de la producció s'anul·la ($P'(t) = 0$) assolint el pic màxim solar de la jornada, i calcula la potència màxima generada en aquest moment.

Determina els coeficients $a, b, c, d$ de la funció polinòmica de tercer grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabent que passa per l'origen de coordenades, té un punt singular a $x = 2$ i presenta un punt d'inflexió a $(1, -2)$.

Una empresa fabrica i ven $x$ unitats d'un article tecnològic. La funció d'ingressos ve donada per $I(x) = 1200x - 2x^2$ i la funció de costos totals és $C(x) = x^3 - 15x^2 + 400x + 1500$. Determina el nombre d'unitats que s'han de produir per maximitzar el benefici i calcula aquest benefici màxim.

Troba les equacions de les rectes tangents a la paràbola $y = x^2 - 2x + 3$ que passen pel punt exterior $P(1, -2)$.

Dos vehicles de prova es desplacen en línia recta. Les seves posicions respecte a un punt de referència venen donades per $s_1(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ i $s_2(t) = 2t^2 - 4t + 10$, amb $t \ge 0$ en segons i $s$ en metres. Determina en quins instants de temps tots dos vehicles circulen amb la mateixa acceleració i calcula la distància que els separa en aquest moment.

Troba l'equació d'una paràbola de la forma $y = ax^2 + bx + c$ sabent que és tangent a la recta $y = -2x + 5$ en el punt d'abscissa $x = 1$ i que passa pel punt $(-1, 15)$.

Un estudi mediambiental modelitza la concentració d'un contaminant en un llac mitjançant la funció $C(t) = -0,05t^4 + 0,8t^3 - 3,6t^2 + 10$, on $t$ representa els mesos transcorreguts des de l'inici de l'any. Esbrina en quins mesos la concentració del contaminant està augmentant i en quins està disminuint.

Demostra matemàticament que la funció polinòmica $f(x) = x^3 + 2x + 5$ és estrictament creixent en tot el seu domini $\mathbb{R}$ i, per tant, no té cap recta tangent que sigui paral·lela a l'eix d'abscisses.

Donades les paràboles $f(x) = x^2$ i $g(x) = -x^2 + 8x - 16$, determina les equacions de totes les rectes que són tangents a totes dues corbes simultàniament.

Es vol reconstruir l'expressió analítica d'un polinomi $P(x)$ de tercer grau del qual no se'n coneixen els coeficients, però del qual es disposa de la següent informació sobre el seu comportament i derivades:

1. La seva derivada segona és $P''(x) = 6x - 12$.

2. Presenta un punt singular a l'abscissa $x = 1$.

3. En aquest punt singular, la funció pren el valor $P(1) = 8$.

1. a) Sabent que en derivar successivament un polinomi el seu grau disminueix en una unitat a cada pas, dedueix per camí invers l'expressió general de $P'(x)$ a partir de $P''(x)$ i troba la constant desconeguda utilitzant la condició del punt singular.
2. b) Seguint el mateix raonament invers, recupera la fórmula completa de $P(x)$ determinant el seu terme independent amb la dada $P(1) = 8$.
3. c) Demostra que aquest polinomi té un segon punt singular, troba les seves coordenades $(x, y)$ i classifica ambdós punts singulars (com a màxim o mínim local) justificant-ho mitjançant el signe de la derivada segona $P''(x)$ a cada abscissa.

En un debat sobre les propietats de les funcions cúbiques, en Sergio formula la següent afirmació: «Com que la funció derivada de qualsevol polinomi de tercer grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (amb $a \neq 0$) és un polinomi de segon grau, i segons la fórmula quadràtica les equacions de segon grau tenen dues solucions, tot polinomi de tercer grau té obligatòriament dos punts singulars».

1. a) Refuta amb rigor l'argument d'en Sergio explicant quin error comet sobre les solucions d'una equació de segon grau en el conjunt dels nombres reals. Construeix un contraexemple explícit de polinomi de tercer grau (amb coeficients numèrics senzills) que no tingui cap punt singular i demostra-ho mitjançant la seva derivada.
2. b) Considera la família de polinomis dependents del paràmetre real $k$:

Calcula la derivada $g'(x)$ i determina raonadament per a quins valors del paràmetre $k$ la funció $g(x)$:

• Posseeix exactament dos punts singulars diferents.

• Posseeix un únic punt singular amb tangent horitzontal.

• És estrictament creixent a tot $\mathbb{R}$ perquè no té cap punt singular.