Exercicis: Interpretació física de la derivada

La posició d'un objecte en caiguda lliure ve donada per la funció $s(t) = 100 - 4,9t^2$, on $s$ es mesura en metres i $t$ en segons. Determina la funció que descriu la seva velocitat $v(t)$ i la seva acceleració $a(t)$.

Un tren es desplaça per una via recta amb una equació de moviment $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, amb $e$ en metres i $t$ en segons. Calcula la velocitat del tren en l'instant $t = 2$ s.

La posició d'una partícula en funció del temps és $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina l'acceleració de la partícula en l'instant $t = 1$.

Un globus aerostàtic ascendeix de manera que la seva altitud en metres ve donada per $h(t) = 15t - t^2$. En quin instant $t$ es fa nul·la la seva velocitat?

El volum d'aigua en un dipòsit canvia segons la funció $V(t) = 50 + 4t - t^3$, on $V$ està en litres i $t$ en minuts. Troba la taxa de variació instantània del volum en l'instant $t = 1$ i indica si el dipòsit s'està omplint o buidant en aquest moment.

Un cotxe de proves té una velocitat donada per la funció $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calcula la seva acceleració en l'instant $t = 3$ s.

La càrrega elèctrica que travessa una secció d'un cable en funció del temps és $q(t) = 2t^2 + 3t$ coulombs. Sabent que la intensitat de corrent és la derivada de la càrrega respecte al temps, calcula la intensitat en $t = 4$ s.

L'altitud d'un projectil en metres és $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocitat mitjana en l'interval $[1, 3]$ i compara-la amb la velocitat instantània en $t = 2$.

Un patinet elèctric es desplaça en línia recta de manera que la seva posició en metres respecte al punt de partida ve donada per $s(t) = t^2 + 2t$, on el temps $t$ es mesura en segons. Per calcular la velocitat del patinet exactament als $3\text{ segons}$ d'iniciar la marxa, en Marcos fa el càlcul següent a la seva llibreta:

«Com que $s(3) = 3^2 + 2\cdot 3 = 15\text{ m}$, divideixo la posició entre el temps: $v(3) = \frac{15}{3} = 5\text{ m/s}$».

1. a) Explica raonadament per què el procediment d'en Marcos és incorrecte i quin concepte físic ha calculat en realitat amb aquesta operació.
2. b) Utilitza la derivada per trobar la velocitat instantània real a $t = 3\text{ s}$, calcula l'acceleració del patinet en aquest mateix instant i indica si el vehicle es mou cap endavant o cap enrere.

Abans de l'inici de l'estiu, es procedeix al buidatge controlat d'una piscina municipal. El volum d'aigua que roman a la piscina (en metres cúbics) després de $t$ hores de desguàs es descriu mitjançant la funció $V(t) = 200 - 20t + 0,5t^2$, vàlida per a l'interval $0 \le t \le 10\text{ hores}$.

1. a) Abans de derivar, estima raonadament si el cabal de sortida de l'aigua serà més gran a l'inici del desguàs ($t = 1\text{ h}$) o quan la piscina estigui gairebé buida ($t = 9\text{ h}$), basant-te en la pressió que exerceix la columna d'aigua.
2. b) Calcula la taxa de variació mitjana del volum entre $t = 0$ i $t = 2\text{ hores}$, i utilitza-la com a estimació prèvia de la velocitat instantània de buidatge.
3. c) Troba la funció cabal de sortida mitjançant la derivada instantània del volum, calcula el seu valor exacte a $t = 1\text{ h}$ i a $t = 9\text{ h}$, i comprova si els resultats confirmen la teva estimació inicial.

Es llança un coet de joguina verticalment cap amunt. La seva altitud en metres després de $t$ segons és $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Determina el temps que triga a assolir la seva altitud màxima i calcula el valor exacte d'aquesta altitud.

La temperatura d'un forn industrial durant un procés de refredament ve donada per $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en graus Celsius, amb $t$ en minuts. Calcula la velocitat de refredament (taxa de variació instantània de la temperatura) en $t = 5$ min i en $t = 15$ min. Interpreta el significat físic dels signes obtinguts.

Un vehicle frena bruscamente i la distància recorreguda en metres des que es trepitgen els frens és $d(t) = 24t - 3t^2$. Quant de temps triga el vehicle a aturar-se per complet? Quina distància total va recórrer durant la frenada?

Una taca d'oli al mar té forma circular i el seu radi en metres creix segons la funció $r(t) = \frac{20t}{t+2}$, on $t$ és el temps en hores. Troba la velocitat a la qual creix el radi en l'instant $t = 3$ hores. Creix més ràpid al principi o al cap d'unes hores? Justifica la teva resposta utilitzant el concepte d'acceleració o analitzant la derivada.

La posició d'un oscil·lador harmònic acoblat a una molla és $x(t) = 5 \sin(2t)$ en centímetres. Calcula la seva velocitat i la seva acceleració en funció del temps. Demostra que l'acceleració és proporcional a la posició, és a dir, $a(t) = k \cdot x(t)$, i troba el valor de la constant $k$.

El cost de producció de $x$ unitats d'un component electrònic és $C(x) = 1500 + 10x - 0,05x^2$ euros. El cost marginal es defineix com la derivada del cost respecte al nombre d'unitats. Calcula el cost marginal per a $x = 50$ unitats i explica què representa aquest valor en el context de la fàbrica.

Un dipòsit cònic es buida de manera que el volum d'aigua al seu interior és $V(t) = 1000 \left(1 - \frac{t}{20}\right)^3$ litres, per a $0 \leq t \leq 20$ minuts. Calcula el cabal de sortida d'aigua (taxa de variació instantània del volum) en l'instant $t = 10$ minuts.

La posició d'una partícula ve donada per $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina els intervals de temps en els quals la partícula avança cap a la dreta ($v(t) > 0$) i en els quals retrocedeix cap a l'esquerra ($v(t) < 0$).

En una prova de frenada suau per a un prototip de vehicle autònom, l'equip tècnic necessita definir una trajectòria rectilínia mitjançant un polinomi de tercer grau de la forma $s(t) = at^3 + bt^2 + ct$, on $s(t)$ és la distància recorreguda en metres i $t$ el temps en segons transcorregut des de l'inici de la prova.

S'imposen les condicions de disseny següents:

1. En l'instant inicial ($t = 0\text{ s}$), el vehicle circula a una velocitat de $24\text{ m/s}$.

2. El vehicle s'atura completament ($v = 0\text{ m/s}$) als $4\text{ segons}$ de frenada ($t = 4\text{ s}$).

3. En aquest instant final d'aturada ($t = 4\text{ s}$), l'acceleració s'ha d'anul·lar ($a(4) = 0\text{ m/s}^2$) perquè la parada resulti totalment imperceptible per als ocupants.

1. a) Planteja el sistema d'equacions corresponent a partir de les derivades de $s(t)$ i dedueix els valors exactes dels coeficients $a$, $b$ i $c$.
2. b) Justifica si el vehicle retrocedeix en algun moment durant l'interval $t \in [0, 4]$ analitzant el signe de la velocitat resultant.

Un tren de la sèrie Civia de Cercanías de Madrid arrenca de l'estació d'Atocha. Durant el primer minut de trajecte ($0 \le t \le 60\text{ segons}$), els sensors de via registren que la seva posició en metres ve donada per la funció $s(t) = 0,5t^2 - \frac{1}{240}t^3$.

1. a) Obtén les expressions analítiques de la velocitat instantània $v(t)$ i de l'acceleració $a(t)$ del comboi en funció del temps.
2. b) Calcula en quin instant assoleix el tren la seva velocitat punta en aquest tram inicial i expressa aquest valor en quilòmetres per hora ($\text{km/h}$).
3. c) En l'instant $t = 50\text{ s}$, calcula els valors de $v(50)$ i $a(50)$. A partir dels seus signes, interpreta físicament si el tren està avançant o retrocedint, i si en aquest instant la seva rapidesa està augmentant o disminuint.

Dos cotxes de curses, A i B, es desplacen per vies rectes i paral·leles. Les seves posicions respecte a la línia de sortida venen donades per $s_A(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ i $s_B(t) = 2t^2 + 3t$. Determina en quins instants $t$ tots dos cotxes circulen a la mateixa velocitat. Per a aquests instants, calcula i compara l'acceleració de cada cotxe.

Un projectil es llança verticalment des d'una plataforma. La seva altitud en metres ve donada per $h(t) = at^2 + bt + c$. Sabem que la plataforma està a $15$ m del terra, que la velocitat inicial de llançament és de $20$ m/s cap amunt, i que l'acceleració deguda a la gravetat és constant i igual a $-9,8$ m/s$^2$. Utilitzant la relació entre posició, velocitat i acceleració mitjançant derivades, troba els valors de $a$, $b$ i $c$. A continuació, calcula l'altitud màxima assolida.

La velocitat d'una partícula que es mou en línia recta és $v(t) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$ m/s. Calcula la funció acceleració $a(t)$. Determina en quin instant de temps $t \geq 0$ l'acceleració és màxima i calcula aquest valor màxim.

La càrrega en un condensador d'un circuit elèctric varia amb el temps segons l'expressió $q(t) = q_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right)$, on $q_0$, $R$ i $C$ són constants positives. La intensitat de corrent és $i(t) = q'(t)$. Demostra que la intensitat disminueix exponencialment amb el temps i calcula el valor límit de la càrrega i de la intensitat quan $t \to +\infty$.

Un robot d'exploració es mou al llarg d'un rail recte. La seva posició en metres durant els primers $5$ segons ve donada per $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$. Calcula la distància total real que ha recorregut el robot en l'interval $t \in [0, 5]$. Tingues en compte que la distància total no és simplement $x(5) - x(0)$, sinó que has d'analitzar els canvis de sentit del moviment utilitzant la velocitat.

La llei de refredament de Newton estableix que la taxa de canvi de la temperatura $T(t)$ d'un objecte és proporcional a la diferència entre la seva temperatura i la del medi ambient $T_a$, és a dir, $T'(t) = -k(T(t) - T_a)$. Verifica que la funció $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ compleix aquesta equació diferencial. Si $T_a = 20^\circ$C, $T_0 = 100^\circ$C i la velocitat de refredament en l'instant inicial $t=0$ és de $-4^\circ$C/min, calcula el valor de $k$.

La potència consumida per un dispositiu electrònic depèn del voltatge aplicat segons la funció $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 4}$ mil·liwatts. La taxa de variació de la potència respecte al voltatge s'anomena conductància dinàmica $G(v) = P'(v)$. Determina per a quins valors de voltatge $v$ la conductància dinàmica és exactament $1$ mil·liwatt/volt.

Un globus meteorològic ascendeix verticalment. La seva altitud en metres es modelitza mitjançant una funció definida a trossos:

$h(t) = \begin{cases} 2t^2 & \text{si } 0 \leq t \leq 10 \\ at + b - \frac{100}{t} & \text{si } t > 10 \end{cases}$

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la posició i la velocitat del globus siguin contínues en l'instant $t = 10$. Una vegada trobats, calcula l'acceleració del globus per a $t > 10$ i discuteix què passa amb la velocitat a llarg termini (quan $t \to +\infty$).

Una cooperativa olivarera de Jaén modelitza el cost total diari (en euros) d'envasar $x$ garrafes d'oli verge extra de 5 litres mitjançant la funció $C(x) = 800 + 15x - 0,01x^2$, per a una producció diària de fins a $500$ garrafes. Per estimar l'impacte econòmic de produir la garrafa número 201, el departament financer valora dues alternatives:

• Mètode A: Calcular el cost real incremental $\Delta C = C(201) - C(200)$.

• Mètode B: Aproximar aquest cost utilitzant el cost marginal instantani derivant la funció, és a dir, avaluant $C'(200)$.

1. a) Aplica amb detall tots dos mètodes i determina el valor numèric obtingut amb cadascun, així com la diferència exacta entre ells.
2. b) A partir de la definició de derivada com a límit del quocient incremental amb $\Delta x = 1$, raona formalment per què el Mètode B és una aproximació admissible del Mètode A.
3. c) Si la cooperativa modernitzés les seves instal·lacions i la funció de cost passés a ser no polinòmica, $C(x) = 800 + 12x + \sqrt{x^3 + 100}$, quin dels dos mètodes resultaria més convenient per calcular ràpidament l'impacte de successives unitats addicionals? Justifica la teva elecció comparant la càrrega de càlcul manual enfront de la interpretabilitat del resultat.

A les pistes d'assaig del centre de certificació Applus+ IDIADA a Tarragona, un prototip elèctric realitza una maniobra d'anada i tornada en línia recta. La seva posició respecte a l'origen de la pista ve donada per $s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t$, on $s$ es mesura en metres i $t$ en segons, durant l'interval $t \in [0, 8]$.

1. a) Determina en quins instants el prototip està momentàniament aturat i en quins intervals de temps avança en sentit positiu o retrocedeix en sentit negatiu.
2. b) Obtén l'acceleració $a(t)$ i analitza detalladament els intervals en què el prototip està guanyant rapidesa (accelerant) i en què està perdent rapidesa (frenant). Para una atenció especial a l'interval $(2, 6)$ i explica com interactuen els signes de $v(t)$ i $a(t)$ per fonamentar la teva conclusió.
3. c) Calcula la distància total efectiva recorreguda pel prototip en els $8\text{ segons}$ i compara-la amb el desplaçament net $s(8) - s(0)$. Explica des del punt de vista del càlcul diferencial per què totes dues quantitats no coincideixen.