Interpretación física de la derivada
El velocímetro de un coche no mide la velocidad media de todo el trayecto: marca la velocidad justo en ese instante. Esa es precisamente la idea física detrás de la derivada, y es la razón histórica por la que Newton la inventó.
Velocidad instantánea: la derivada de la posición
La posición de un objeto en caída libre viene dada por la función $s(t) = 100 - 4,9t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos. Determina la función que describe…
La posición de un objeto en caída libre viene dada por la función $s(t) = 100 - 4,9t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos. Determina la función que describe su velocidad $v(t)$ y su aceleración $a(t)$.
Un tren se desplaza por una vía recta con una ecuación de movimiento $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, con $e$ en metros y $t$ en segundos. Calcula la velocidad del tren en el…
Un tren se desplaza por una vía recta con una ecuación de movimiento $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, con $e$ en metros y $t$ en segundos. Calcula la velocidad del tren en el instante $t = 2$ s.
Aceleración: la derivada de la velocidad
La posición de una partícula en función del tiempo es $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina la aceleración de la partícula en el instante $t = 1$.
La posición de una partícula en función del tiempo es $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina la aceleración de la partícula en el instante $t = 1$.
Un coche de pruebas tiene una velocidad dada por la función $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calcula su aceleración en el instante $t = 3$ s.
Un coche de pruebas tiene una velocidad dada por la función $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calcula su aceleración en el instante $t = 3$ s.
El signo de $v(t)$ y $a(t)$: sentido del movimiento
Un globo aerostático asciende de modo que su altura en metros viene dada por $h(t) = 15t - t^2$. ¿En qué instante $t$ se hace nula su velocidad?
Un globo aerostático asciende de modo que su altura en metros viene dada por $h(t) = 15t - t^2$. ¿En qué instante $t$ se hace nula su velocidad?
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. Su altura en metros tras $t$ segundos es $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Determina el tiempo que tarda en alcanzar su…
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. Su altura en metros tras $t$ segundos es $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Determina el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima y calcula el valor exacto de dicha altura.
La posición de una partícula viene dada por $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina los intervalos de tiempo en los que la partícula avanza hacia la derecha (…
La posición de una partícula viene dada por $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina los intervalos de tiempo en los que la partícula avanza hacia la derecha ($v(t) > 0$) y en los que retrocede hacia la izquierda ($v(t) < 0$).
Otras tasas de variación instantánea
La derivada no es solo velocidad: sirve para describir el ritmo instantáneo de cambio de cualquier magnitud en función de otra. Fuera de la cinemática, las magnitudes y las unidades cambian, pero el cálculo es idéntico.
La carga eléctrica que atraviesa una sección de un cable en función del tiempo es $q(t) = 2t^2 + 3t$ culombios. Sabiendo que la intensidad de corriente es la derivada de…
La carga eléctrica que atraviesa una sección de un cable en función del tiempo es $q(t) = 2t^2 + 3t$ culombios. Sabiendo que la intensidad de corriente es la derivada de la carga respecto al tiempo, calcula la intensidad en $t = 4$ s.
El coste de producción de $x$ unidades de un componente electrónico es $C(x) = 1500 + 10x - 0,05x^2$ euros. El coste marginal se define como la derivada del coste…
El coste de producción de $x$ unidades de un componente electrónico es $C(x) = 1500 + 10x - 0,05x^2$ euros. El coste marginal se define como la derivada del coste respecto al número de unidades. Calcula el coste marginal para $x = 50$ unidades y explica qué representa este valor en el contexto de la fábrica.
Velocidad media frente a velocidad instantánea
La altura de un proyectil en metros es $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocidad media en el intervalo $[1, 3]$ y compárala con la velocidad instantánea en $t = 2$.
La altura de un proyectil en metros es $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocidad media en el intervalo $[1, 3]$ y compárala con la velocidad instantánea en $t = 2$.
La temperatura de un horno industrial durante un proceso de enfriamiento viene dada por $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en grados Celsius, con $t$ en minutos. Calcula la…
La temperatura de un horno industrial durante un proceso de enfriamiento viene dada por $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en grados Celsius, con $t$ en minutos. Calcula la velocidad de enfriamiento (tasa de variación instantánea de la temperatura) en $t = 5$ min y en $t = 15$ min. Interpreta el significado físico de los signos obtenidos.