Crecimiento y extremos con la derivada
Hasta ahora, para saber dónde crece o decrece una función había que mirar su gráfica. Con la derivada ya no hace falta dibujar nada: el signo de $f'(x)$ dice, punto a punto, si $f$ sube o baja, y los puntos donde $f'$ se anula son los candidatos a máximo o mínimo. Este procedimiento es la base de todo lo que viene después: representar gráficas y resolver problemas de optimización.
El signo de la derivada marca la monotonía
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f(x) = x^3 - 3x$ estudiando el signo de su derivada.
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f(x) = x^3 - 3x$ estudiando el signo de su derivada.
Determina los intervalos de monotonía de la función $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.
Determina los intervalos de monotonía de la función $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.
La figura muestra la gráfica de la derivada $f'$ de una función $f$, que corta al eje de abscisas en $x = -1$ y en $x = 3$. Observando el signo de $f'$ en la figura,…
La figura muestra la gráfica de la derivada $f'$ de una función $f$, que corta al eje de abscisas en $x = -1$ y en $x = 3$. Observando el signo de $f'$ en la figura, indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y en qué puntos tiene extremos relativos.
Puntos singulares: dónde buscar los extremos
Para clasificar un punto singular $x_0$ hay dos métodos equivalentes:
Halla el extremo relativo de la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$ utilizando la derivada, y razona si se trata de un máximo o de un mínimo.
Halla el extremo relativo de la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$ utilizando la derivada, y razona si se trata de un máximo o de un mínimo.
Sea la función $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$. a) Calcula su derivada y halla sus puntos singulares. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c)…
Sea la función $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.
- a) Calcula su derivada y halla sus puntos singulares.
- b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
- c) Clasifica cada punto singular como máximo o mínimo relativo e indica el valor de la función en ellos.
La función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ tiene un extremo relativo en el punto $(1, -2)$. a) Plantea las dos condiciones que deben cumplir $a$ y $b$ y calcula sus valores. b)…
La función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ tiene un extremo relativo en el punto $(1, -2)$.
- a) Plantea las dos condiciones que deben cumplir $a$ y $b$ y calcula sus valores.
- b) Con esos valores, localiza el otro extremo relativo de la función y clasifica ambos.
Extremos absolutos en un intervalo cerrado
Calcula los puntos singulares de la función $f(x) = x^3 - 12x + 1$, es decir, los puntos en los que su derivada se anula.
Calcula los puntos singulares de la función $f(x) = x^3 - 12x + 1$, es decir, los puntos en los que su derivada se anula.
Un pequeño taller fabrica $x$ bicicletas al mes y el coste medio por bicicleta, en euros, viene dado por $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, con $x > 0$. Halla el número de…
Un pequeño taller fabrica $x$ bicicletas al mes y el coste medio por bicicleta, en euros, viene dado por $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, con $x > 0$. Halla el número de bicicletas que hace mínimo el coste medio y el valor de dicho coste mínimo, comprobando con el signo de la derivada que se trata efectivamente de un mínimo.
Sea $f(x) = x^3 - 3x + 1$ definida en el intervalo cerrado $[-2, 3]$. a) Localiza sus puntos singulares dentro del intervalo. b) Calcula el valor de $f$ en los puntos…
Sea $f(x) = x^3 - 3x + 1$ definida en el intervalo cerrado $[-2, 3]$.
- a) Localiza sus puntos singulares dentro del intervalo.
- b) Calcula el valor de $f$ en los puntos singulares y en los extremos del intervalo.
- c) Determina el máximo y el mínimo absolutos de $f$ en $[-2, 3]$ y razona por qué no basta con mirar los puntos singulares.