Exercicis: Creixement i extrems amb la derivada

Es sap que la derivada d'una funció $f$ compleix $f'(3) = -2$. Sense conèixer l'expressió de $f$, raona si la funció és creixent o decreixent en el punt $x = 3$ i explica què significa aquest valor per a la recta tangent en aquest punt.

Determina els intervals de creixement i de decreixement de la funció $f(x) = x^3 - 3x$ estudiant el signe de la seva derivada.

Troba l'extrem relatiu de la funció $f(x) = x^2 - 6x + 5$ utilitzant la derivada, i raona si es tracta d'un màxim o d'un mínim.

Calcula els punts singulars de la funció $f(x) = x^3 - 12x + 1$, és a dir, els punts en què la seva derivada s'anul·la.

La derivada d'una funció és $f'(x) = (x - 1) \cdot (x - 4)$. Estudiant el signe de cada factor en la recta real, determina els intervals de creixement i de decreixement de $f$ i localitza els seus extrems relatius.

Determina els intervals de monotonia de la funció $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.

La figura mostra la gràfica de la derivada $f'$ d'una funció $f$, que talla l'eix d'abscisses a $x = -1$ i a $x = 3$. Observant el signe de $f'$ en la figura, indica els intervals de creixement i de decreixement de $f$ i en quins punts té extrems relatius.

Raona si l'afirmació següent és vertadera o falsa: «Si $f'(a) = 0$, aleshores $f$ té un màxim o un mínim relatiu a $x = a$». La figura, que mostra la funció $f(x) = x^3$ i la seva tangent a l'origen, et pot ajudar a decidir.

La Lucía està estudiant els extrems de la funció $f(x) = (x - 2)^3 + 5$. Per a fer-ho, calcula la seva derivada $f'(x) = 3(x - 2)^2$, la iguala a zero i obté la solució $x = 2$. Immediatament conclou a la seva llibreta: «Com que la derivada s'anul·la a $x = 2$, la funció té un extrem relatiu (mínim o màxim) en aquest punt».

1. a) Explica amb precisió quin error conceptual comet la Lucía en deduir l'existència d'un extrem basant-se únicament en el fet que $f'(2) = 0$.
2. b) Corregeix la seva resolució: estudia el signe de $f'(x)$ a l'esquerra i a la dreta de $x = 2$ i determina què passa realment amb el creixement de la funció en aquest entorn.
3. c) Posa un exemple verbal o de la vida quotidiana que l'ajudi a entendre la diferència entre aturar-se momentàniament amb velocitat zero (tangent horitzontal) i fer mitja volta (canvi de sentit).

Donada la funció polinòmica $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ restringida a l'interval tancat $[0, 3]$:

1. a) Abans de calcular cap derivada, avalua mentalment o de manera ràpida els extrems de l'interval, $f(0)$ i $f(3)$, així com el valor a $f(1)$. A partir d'aquestes tres dades, fes una estimació raonada de si creus que el màxim absolut s'assolirà a l'interior de l'interval o a l'extrem dret $x = 3$.
2. b) Calcula la funció derivada $f'(x)$, determina els punts singulars que pertanyin a l'interval $[0, 3]$ i classifica'ls estudiant el signe de $f'$.
3. c) Troba amb exactitud el màxim i el mínim absoluts a $[0, 3]$ avaluant els candidats pertinents (punts singulars interiors i extrems de l'interval) i comprova si la teva estimació inicial era correcta.

En una fira, un coet d'aigua aconsegueix una altura de $h(t) = -4t^2 + 24t + 1$ metres als $t$ segons del llançament. Utilitzant la derivada, calcula en quin instant aconsegueix l'altura màxima i quant val aquesta altura.

Sigui la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.

1. a) Calcula la seva derivada i troba els seus punts singulars.

1. b) Determina els intervals de creixement i de decreixement.

1. c) Classifica cada punt singular com a màxim o mínim relatiu i indica el valor de la funció en aquests punts.

Un petit taller fabrica $x$ bicicletes al mes i el cost mitjà per bicicleta, en euros, ve donat per $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, amb $x > 0$. Troba el nombre de bicicletes que fa mínim el cost mitjà i el valor d'aquest cost mínim, comprovant amb el signe de la derivada que es tracta efectivament d'un mínim.

Després d'administrar un medicament, la seva concentració en sang, en $\text{mg/l}$, segueix el model $C(t) = 10t \cdot e^{-0,5t}$, amb $t \geq 0$ mesurat en hores, representat en la figura.

1. a) Calcula $C'(t)$.

1. b) Determina en quin instant la concentració és màxima.

1. c) Estudia en quins intervals la concentració augmenta i en quins disminueix.

Troba el valor del paràmetre $b$ perquè la funció $f(x) = x^2 + bx + 3$ tingui un mínim relatiu en el punt $x = 2$. Amb aquest valor de $b$, calcula el valor mínim de la funció.

Un alumne estudia la monotonia de $f(x) = x^3 - 3x^2$ i escriu: «$f'(x) = 3x^2 - 6x$, que s'anul·la a $x = 0$ i a $x = 2$; per tant, $f$ és creixent a $(0, 2)$ i decreixent en la resta». Detecta l'error que ha comès en la conclusió, corregeix-lo estudiant bé el signe de $f'$ i escriu els intervals de monotonia correctes.

La figura mostra la gràfica d'una funció $f$ definida a $[-3, 4]$, amb els seus dos extrems relatius assenyalats. Llegint la gràfica:

1. a) Indica els intervals de creixement i de decreixement de $f$.

1. b) Estima les coordenades del màxim i del mínim relatius.

1. c) Indica també el màxim i el mínim absoluts de $f$ a $[-3, 4]$.

Els organitzadors d'un festival estimen que, si venen l'entrada a $x$ euros, hi aniran $400 - 8x$ persones, de manera que l'ingrés és $I(x) = x \cdot (400 - 8x)$ euros, amb $0 \leq x \leq 50$.

1. a) Determina els intervals en què l'ingrés augmenta i aquells en què disminueix quan puja el preu.

1. b) Troba el preu que maximitza l'ingrés i el valor d'aquest ingrés màxim.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra l'evolució tèrmica durant un dia d'estiu en una estació de l'interior peninsular. La temperatura $T$ (en graus Celsius) al llarg de les $24$ hores del dia es modelitza mitjançant la funció:

on $t$ representa el temps transcorregut en hores des de la mitjanit ($t = 0$).

1. a) Calcula la derivada $T'(t)$ i determina els intervals del dia en què la temperatura va estar augmentant i en què va estar disminuint.
2. b) Troba a quina hora exacta es va registrar la temperatura mínima relativa (local) de la matinada i a quina hora la màxima absoluta, calculant el valor tèrmic en ambdós instants.
3. c) Interpreta el signe de la derivada $T'(t)$ en el tram de $14:00$ a $16:00$ hores per a justificar per què la màxima temperatura diària no coincideix amb el migdia solar (moment de màxima insolació), sinó que presenta un retard tèrmic.

Per a classificar els punts singulars d'una funció derivable es pot estudiar el canvi de signe de la primera derivada o recórrer al signe de la segona derivada.

1. a) Considera la funció $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Troba els seus dos punts singulars i intenta classificar tots dos mitjançant la segona derivada $f''(x)$. Quin inconvenient insalvable sorgeix a $x = 0$? Justifica quin mètode resulta obligatori aplicar en aquest punt i conclou de quin tipus de punt es tracta.
2. b) Considera ara la funció racional $g(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$. Troba els seus punts singulars. Compara el treball algebraic que exigiria calcular $g''(x)$ enfront d'estudiar el signe de $g'(x)$ aprofitant que el denominador de $g'$ és sempre estrictament positiu. Justifica quina de les dues vies és més convenient i classifica els extrems relatius de $g$.

Estudia la monotonia completa de la funció $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$: intervals de creixement i decreixement, extrems relatius amb els seus valors, i comportament quan $x \to \pm \infty$.

La funció $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ té un extrem relatiu en el punt $(1, -2)$.

1. a) Planteja les dues condicions que han de complir $a$ i $b$ i calcula els seus valors.

1. b) Amb aquests valors, localitza l'altre extrem relatiu de la funció i classifica'ls tots dos.

Considera la funció $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. a) Demostra, estudiant el signe de $f'(x)$, que $f$ és estrictament creixent en tot $\mathbb{R}$.

1. b) Raona, a partir de l'apartat anterior i dels valors $f(0)$ i $f(1)$, quantes solucions reals té l'equació $x^3 + x - 1 = 0$.

Sigui $f(x) = x^3 - 3x + 1$ definida en l'interval tancat $[-2, 3]$.

1. a) Localitza els seus punts singulars dins de l'interval.

1. b) Calcula el valor de $f$ en els punts singulars i en els extrems de l'interval.

1. c) Determina el màxim i el mínim absoluts de $f$ a $[-2, 3]$ i raona per què no n'hi ha prou amb mirar els punts singulars.

L'índex de qualitat de l'aire d'una ciutat durant un dia d'episodi de contaminació es modela, en el període $0 \leq t \leq 24$ hores, per $I(t) = t^3 - 27t^2 + 216t + 50$.

1. a) Troba els instants en què la tendència de l'índex canvia.

1. b) Determina els trams horaris en què l'índex empitjora (augmenta) i aquells en què millora (disminueix).

1. c) Determina el valor màxim de l'índex entre les $0$ i les $14$ hores i a quina hora s'assoleix.

1. d) Raona si el model continuaria sent vàlid per predir l'índex diversos dies després.

Estudia la monotonia i els extrems de la funció $f(x) = x \cdot e^{-x}$ en tot $\mathbb{R}$, indicant el valor de l'extrem relatiu i el límit de la funció quan $x \to +\infty$.

Es vol demostrar que $e^x \geq 1 + x$ per a tot $x \geq 0$ fent servir la monotonia.

1. a) Defineix $f(x) = e^x - 1 - x$ i estudia el signe de $f'(x)$ per a $x \geq 0$.

1. b) Calcula $f(0)$ i dedueix, de la monotonia de $f$, que $f(x) \geq 0$ per a tot $x \geq 0$.

1. c) Conclou la desigualtat demanada i raona si també és vàlida per a $x < 0$.

La figura mostra la gràfica de la derivada $f'$ d'una certa funció $f$ derivable en tot $\mathbb{R}$; la corba talla l'eix d'abscisses exactament a $x = -2$, $x = 1$ i $x = 4$.

1. a) Indica en quins punts té $f$ extrems relatius i classifica'ls estudiant el signe de $f'$.

1. b) És possible conèixer el valor que pren $f$ en aquests extrems a partir de la gràfica de $f'$? Raona la teva resposta.

En una pista de patinatge es projecta construir una rampa que connecti suaument dos trams horitzontals situats a diferent alçària. En un sistema de coordenades on les distàncies es mesuren en metres, es busca una funció polinòmica de tercer grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, definida a l'interval $[0, 4]$, que compleixi simultàniament:

1. A $x = 0$, la rampa arrenca a una cota de $3\text{ m}$ amb tangent horitzontal.

2. A $x = 4$, la rampa arriba a nivell del terra ($0\text{ m}$) també amb tangent horitzontal.

3. La rampa ha de ser estrictament decreixent a tot l'interior $(0, 4)$ perquè cap patinador trobi contra-pendents o pujades intermèdies.

1. a) Planteja les quatre condicions sobre $f$ i $f'$ necessàries per a calcular els coeficients $a$, $b$, $c$ i $d$, i obtén l'expressió algebraica de $f(x)$.
2. b) Demostra analíticament que la funció calculada compleix la condició de decreixement estricte a $(0, 4)$ mitjançant l'estudi del signe de la seva derivada.
3. c) Justifica detalladament per què hauria estat matemàticament impossible resoldre aquest problema utilitzant un polinomi de segon grau en lloc d'un de tercer grau.

Considera la família de funcions $f_k(x) = x^3 - 3kx^2 + 9x - 1$, on $k \in \mathbb{R}$ és un paràmetre.

1. a) Calcula $f'_k(x)$ i determina per a quins valors de $k$ la funció és estrictament creixent a tot $\mathbb{R}$. Explica què passa amb la gràfica i la tangent en el cas particular $k = \sqrt{3}$.
2. b) Troba els valors de $k$ per als quals la funció posseeix exactament dos punts singulars diferents. Classifica'ls en màxim o mínim relatiu justificant la teva resposta segons els signes que adopta la derivada al llarg de la recta real.
3. c) Per al cas concret $k = 2$, restringeix la funció a l'interval tancat $[0, 5]$. Determina raonadament tots els candidats a extrems absoluts, avalua la funció en ells i localitza el màxim i el mínim absoluts en aquest interval. En vista del resultat, argumenta per què en un interval tancat el màxim absolut no té per què coincidir amb el màxim relatiu.