Exercicis: Hipèrbola

Escriu l'equació reduïda de la hipèrbola els focs de la qual són $F(5, 0)$ i $F'(-5, 0)$ i l'eix real de la qual mesura $8$.

Donada la hipèrbola d'equació $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina les coordenades dels seus vèrtexs, dels seus focs i les equacions de les seves asímptotes.

Comprova analíticament si els punts $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ i $C(6, -3)$ són interiors, exteriors o si pertanyen a la hipèrbola d'equació $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.

Determina l'equació d'una hipèrbola equilàtera centrada a l'origen sabent que passa pel punt $P(4, 2)$ i que els seus focs estan situats sobre l'eix d'abscisses.

Calcula l'excentricitat de la hipèrbola l'equació general de la qual ve donada per l'expressió $16x^2 - 9y^2 = 144$.

Troba l'equació reduïda de la hipèrbola que té els seus vèrtexs als punts $V(3, 0)$ i $V'(-3, 0)$ i que passa pel punt $P(5, 4)$.

Determina el lloc geomètric dels punts del pla la diferència de distàncies dels quals als punts fixos $F(0, 10)$ i $F'(0, -10)$ és, en valor absolut, igual a $12$. Escriu la seva equació reduïda.

Troba les coordenades del centre, les longituds dels semieixos i les equacions de les asímptotes de la hipèrbola l'equació de la qual és $\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$.

En Lucas intenta calcular els focus, l'excentricitat i les asímptotes de la hipèrbola $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Al seu quadern escriu la resolució següent:

«Identifico $a^2 = 16$ i $b^2 = 9$. Com que en les còniques la relació fonamental és $a^2 = b^2 + c^2$, aïllo $c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2,65$. Per tant, els focus estan a $(\pm\sqrt{7}, 0)$ i l'excentricitat és $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \approx 0,66$. Finalment, les asímptotes són les rectes $y = \pm\dfrac{a}{b}x$, és a dir, $y = \pm\dfrac{4}{3}x$».

Identifica i explica de manera raonada els dos errors conceptuals que ha comès en Lucas, justifica per què el valor obtingut per a l'excentricitat no té cap sentit físic ni geomètric a partir de la definició d'hipèrbola, i escriu la resolució correcta amb els valors exactes dels focus, l'excentricitat i les asímptotes.

Determina l'equació reduïda $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ d'una hipèrbola centrada a l'origen sabent que les seves asímptotes són les rectes d'equacions $y = \pm 1,5x$ i que la distància entre els seus dos focus és exactament igual a $2\sqrt{13}$ unitats.

1. a) Troba els valors dels semieixos $a$ i $b$, i escriu les coordenades dels seus vèrtexs i dels seus focus.
2. b) Calcula l'excentricitat de la hipèrbola.
3. c) Justifica per què l'excentricitat de qualsevol hipèrbola depèn únicament del pendent $m$ de les seves asímptotes mitjançant la relació $e = \sqrt{1 + m^2}$, i comprova que es compleix amb les dades obtingudes.

En el disseny d'una torre de refrigeració per a una central tèrmica, l'estructura té forma d'hiperboloide de revolució. La secció transversal vertical és una hipèrbola amb el centre a l'origen de coordenades. La torre té una alçària total de $160\text{ m}$. La part més estreta (el coll) té un diàmetre de $60\text{ m}$ i es troba a una alçària de $120\text{ m}$ sobre la base. A més, el diàmetre a la part més alta de la torre és de $100\text{ m}$. Determina l'equació de la hipèrbola que perfila la torre i calcula el diàmetre de la base circular.

El sistema de navegació LORAN determina la posició d'un vaixell mesurant la diferència de temps en la recepció de senyals de dues estacions de ràdio. Les estacions $A$ i $B$ estan situades en un sistema de coordenades cartesianes als punts $(-60, 0)$ i $(60, 0)$, amb les distàncies expressades en quilòmetres. Un vaixell $P$ rep el senyal de $A$ un temps després que el de $B$, la qual cosa indica que el vaixell està $100\text{ km}$ més a prop de $B$ que de $A$. Determina l'equació de la hipèrbola sobre la qual navega el vaixell i calcula la distància del vaixell a l'estació $B$ si se sap que la seva ordenada és $y = 45\text{ km}$.

Troba l'equació de la hipèrbola centrada a l'origen que té un foc al punt $F(0, \sqrt{13})$ i en la qual una de les seves asímptotes és la recta d'equació $2x - 3y = 0$.

Calcula els punts d'intersecció de la recta $x - y - 2 = 0$ i la hipèrbola $x^2 - 2y^2 = 2$. A continuació, determina la longitud exacta de la corda que delimita la recta en tallar la cònica.

Troba l'equació de la recta tangent i de la recta normal a la hipèrbola $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ al punt $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.

Una làmpada de taula projecta llum cap amunt i cap avall formant un con lluminós. En col·locar-la a prop d'una paret vertical, la vora de la zona il·luminada forma una hipèrbola. Mesurant sobre la paret i prenent el terra com a eix d'abscisses, s'observa que el centre de la hipèrbola està a $80\text{ cm}$ d'alçària. El vèrtex de la branca superior està a $100\text{ cm}$ del terra. Si a una alçària de $180\text{ cm}$ del terra l'amplada total de la zona il·luminada és de $96\text{ cm}$, determina l'excentricitat de la hipèrbola projectada.

Donada l'equació general d'una cònica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, agrupa-la completant quadrats per a demostrar que es tracta d'una hipèrbola. Calcula les coordenades del seu centre, dels seus focs i dels seus vèrtexs.

Determina els valors del paràmetre $k$ per als quals la recta $y = x + k$ és tangent, secant o exterior a la hipèrbola $x^2 - 2y^2 = 4$.

Donada la hipèrbola d'equació reduïda $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{144} = 1$:

1. a) Abans de calcular analíticament cap punt, estima si l'ordenada positiva del punt $P$ de la corba que té com a abscissa $x = 13$ serà més gran o més petita que el valor $32$. Justifica la teva predicció utilitzant exclusivament l'equació de l'asímptota en el primer quadrant i la posició relativa de la hipèrbola respecte d'aquesta.
2. b) Aïlla i calcula el valor exacte de l'ordenada positiva del punt $P(13, y)$. Comprova si la teva estimació prèvia era encertada i calcula la distància vertical que separa la corba de la seva asímptota en l'abscissa $x = 13$.
3. c) Determina les coordenades dels focus $F_1$ i $F_2$ i comprova de manera rigorosa que per a aquest punt $P$ es compleix amb exactitud la definició de lloc geomètric $|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a$.

L'Instituto Geográfico Nacional (IGN) disposa de dues estacions de registre acústic al Parc Nacional de Picos de Europa, ubicades als punts $A(-5, 0)$ i $B(5, 0)$ (coordenades expressades en quilòmetres respecte a un punt central de la vall). Durant una tempesta, es produeix una esllavissada de roques en un punt $P(x, y)$ del terreny. L'estació $A$ registra l'estrèpit $20\text{ segons}$ abans que l'estació $B$. Suposant que el so viatja en línia recta a una velocitat mitjana constant de $300\text{ m/s}$ ($0,3\text{ km/s}$):

1. a) Modela la situació plantejant el lloc geomètric on es va poder originar l'esllavissada. Explica per què es tracta d'una branca concreta d'una hipèrbola i dedueix-ne l'equació reduïda, indicant quina restricció ha de complir l'abscissa $x$.
2. b) Una estació sísmica auxiliar detecta que l'epicentre de l'impacte va tenir lloc a una ordenada $y = 4\text{ km}$. Determina les coordenades exactes del punt $P(x, y)$ del succés i calcula la distància directa en línia recta des d'aquest punt fins a l'estació receptora $A$.

Un cometa interestel·lar s'aproxima al sistema solar seguint una trajectòria hiperbòlica, amb el Sol situat en un dels seus focus. En la seva aproximació màxima (periheli), el cometa passa a $2\text{ UA}$ (unitats astronòmiques) del Sol. Les observacions astronòmiques indiquen que l'angle que formen les dues asímptotes de la trajectòria del cometa és de $60^\circ$. Prenent el Sol al focus d'abscissa positiva i l'eix focal sobre l'eix $X$ (amb el vèrtex a l'esquerra del Sol), determina l'equació de la trajectòria del cometa i la distància a la qual es trobarà del Sol quan creui la vertical del Sol.

Troba el lloc geomètric dels punts $P(x, y)$ tals que el producte de les pendents de les rectes que els uneixen amb els punts fixos $A(4, 0)$ i $B(-4, 0)$ és igual a $\frac{9}{16}$. Demostra analíticament que es tracta d'una hipèrbola, troba la seva equació reduïda, les coordenades dels seus focs i la seva excentricitat.

Troba les equacions de les rectes tangents a la hipèrbola $x^2 - 4y^2 = 4$ traçades des del punt exterior $P(1, 1)$.

Demostra de forma analítica que l'àrea del triangle format per qualsevol recta tangent a la hipèrbola equilàtera d'equació $xy = k$ (amb $k > 0$) i els dos eixos de coordenades és independent del punt de tangència. Calcula aquest valor constant en funció del paràmetre $k$.

En el disseny d'un telescopi reflector tipus Cassegrain, el mirall principal és parabòlic i el mirall secundari té la forma d'una branca de hipèrbola. El foc del mirall parabòlic coincideix amb un dels focs de la hipèrbola, situat a $120\text{ cm}$ per davant del vèrtex del mirall secundari. La imatge final es forma a l'altre foc de la hipèrbola, situat a $30\text{ cm}$ per darrere d'aquest vèrtex (és a dir, la distància total entre els dos focs és $150\text{ cm}$). Calcula l'equació de la hipèrbola que defineix el mirall secundari i la seva excentricitat, situant el centre de la hipèrbola a l'origen de coordenades i l'eix focal a l'eix d'abscisses.

Estudia, en funció del paràmetre $m$, la posició relativa de la família de rectes $y = mx - 1$ respecte a la hipèrbola equilàtera $x^2 - y^2 = 1$. Especifica per a quins valors de $m$ la recta talla a una sola branca, a totes dues branques, és tangent o no talla la corba.

Determina l'equació d'una hipèrbola amb centre a l'origen i eixos coincidents amb els eixos de coordenades, sabent que passa pels punts $A(4, \sqrt{3})$ i $B(2\sqrt{3}, 1)$. A partir de l'equació obtinguda, calcula la distància exacta entre els seus focs.

Sigui la hipèrbola d'equació $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Troba, en funció de $a$, $b$ i $c$, les coordenades dels punts $P$ pertanyents a la corba des dels quals el segment que uneix els dos focs $F$ i $F'$ es veu sota un angle recte (és a dir, els radi vectors $PF$ i $PF'$ són perpendiculars). Demostra analíticament que sempre existeixen aquests punts per a qualsevol hipèrbola, independentment de la seva excentricitat.

Es vol demostrar una propietat geomètrica fonamental de la hipèrbola: «La distància euclidiana des de qualsevol dels focus d'una hipèrbola a qualsevol de les seves dues asímptotes és sempre igual a la longitud del semieix imaginari $b$». Per a la hipèrbola $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, amb focus a $F(c, 0)$ i asímptota $y = \dfrac{b}{a}x$, dos alumnes proposen camins diferents:

• Mètode 1 (Geometria analítica): Escriure la recta asímptota en la seva forma general $bx - ay = 0$, aplicar la fórmula de la distància d'un punt a una recta des del focus $F(c, 0)$ i simplificar l'expressió mitjançant la relació mètrica fonamental $c^2 = a^2 + b^2$.

• Mètode 2 (Geometria mètrica i trigonometria): Traçar el segment perpendicular des de $F(c, 0)$ fins a l'asímptota, considerar el triangle rectangle format per l'origen, el focus i el peu de la perpendicular, i deduir la distància a partir del sinus de l'angle $\alpha$ que forma l'asímptota amb el semieix positiu d'abscisses.

1. a) Desenvolupa per complet la demostració seguint tots dos mètodes.
2. b) Compara críticament les dues alternatives analitzant quina és més directa algebraicament i quina aporta una comprensió visual més clara. A partir del resultat, descriu com construir amb regle i compàs la posició exacta dels focus si només es coneixen els vèrtexs $(\pm a, 0)$ i les asímptotes.

Una hipèrbola s'anomena equilàtera quan la longitud del seu semieix real coincideix amb la del seu semieix imaginari ($a = b$).

1. a) Demostra formalment que l'excentricitat de qualsevol hipèrbola equilàtera és una constant universal independent del valor de $a$, i determina l'angle que formen les seves asímptotes entre si.
2. b) En rotar $45^\circ$ els eixos cartesians, les asímptotes passen a ser els mateixos eixos coordenats i l'equació adopta la forma $xy = k$. Sabent que els vèrtexs $(\pm a, 0)$ de la hipèrbola original es transformen després del gir en els punts $\left(\pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}, \pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$, dedueix l'expressió exacta de la constant $k$ en funció del semieix $a$.
3. c) Considera la hipèrbola equilàtera particular $x^2 - y^2 = 32$. Es tracen rectes que passen per l'origen de coordenades, d'equació $y = mx$. Discuteix raonadament el nombre de punts de tall entre la recta i la hipèrbola en funció del paràmetre real $m$, i interpreta què representen geomètricament aquells valors de $m$ per als quals no existeix cap punt d'intersecció.