Lugares geométricos

Un joven entrena a su perro en un descampado. El perro está sujeto a una correa extensible de $5$ metros de longitud máxima, anclada a una estaca clavada en el suelo. Dibuja y describe el lugar geométrico que representa la zona máxima por la que puede moverse el perro si mantiene la correa siempre tensa.

Dos pueblos, Pueblo A y Pueblo B, están situados a una distancia de $8$ km entre sí. Las autoridades quieren construir una parada de autobús que esté exactamente a la misma distancia de ambos pueblos. ¿En qué línea o lugar geométrico deben situar la parada? Represéntalo gráficamente en tu cuaderno.

En el patio de un instituto, dos antenas de Wi-Fi están situadas en los puntos $A$ y $B$, separados por una distancia de $12$ metros. Un estudiante busca un lugar para sentarse donde reciba la misma intensidad de señal de ambas antenas.

1. a) Describe qué lugar geométrico forman todos los puntos que están a la misma distancia de $A$ y de $B$.
2. b) Si el estudiante además quiere estar exactamente a $10$ metros de la antena $A$, ¿en cuántos puntos posibles del patio podría situarse? Explica qué figuras geométricas tendrías que dibujar para encontrarlos.

En un museo, dos paredes forman un ángulo de $70^\circ$. Se desea instalar una vitrina que esté situada siempre a la misma distancia de ambas paredes. Dibuja el ángulo y traza el lugar geométrico donde se podrían colocar los objetos de la vitrina. ¿Cómo se llama técnicamente esta línea?

Dos calles rectas de un barrio, la Calle Mayor y la Calle Menor, se cruzan formando un ángulo de $60^\circ$. Se quiere colocar una papelera que cumpla dos condiciones: que esté a la misma distancia de ambas calles y que diste exactamente $5$ metros del punto de intersección de las calles.

1. a) Define el lugar geométrico que cumple la primera condición.
2. b) Utiliza el concepto de lugar geométrico para explicar cómo determinarías la posición exacta de la papelera. ¿Cuántas soluciones posibles existen en total?

Identifica el punto notable del triángulo que se describe en cada caso:

1. a) Es el punto que equidista de los tres vértices del triángulo.
2. b) Es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.
3. c) Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (la que toca sus tres lados).
4. d) Es el centro de gravedad del triángulo y el punto donde se cortan las medianas.

Un parque tiene forma triangular. Se quiere instalar una fuente de modo que la distancia de la fuente a cada uno de los tres caminos (lados del parque) sea la misma.

1. a) ¿Qué rectas notables del triángulo tendrías que dibujar para encontrar la ubicación?
2. b) ¿Cómo se llama el punto resultante?

Se ha diseñado un juego de mesa donde una ficha debe colocarse en el "centro de gravedad" de una pieza triangular de cartón para que se mantenga en equilibrio sobre la punta de un lápiz. Los lados del triángulo miden $15$ cm, $20$ cm y $25$ cm.

1. a) ¿Qué nombre recibe este punto de equilibrio en geometría?
2. b) Si trazamos una de las medianas de este triángulo, ¿en qué proporción divide el punto de equilibrio a dicha mediana? Expresa la relación entre la distancia del punto al vértice y la distancia del punto al lado opuesto.

Una empresa de logística quiere ubicar un almacén central que dé servicio a tres tiendas situadas en los puntos $A(2, 6)$, $B(2, 0)$ y $C(10, 0)$ (unidades en km). Para minimizar los costes de transporte, el almacén debe estar a la misma distancia de las tres tiendas.

1. a) Determina las coordenadas del punto donde debe situarse el almacén mediante el estudio de las mediatrices.
2. b) ¿Cómo se llama el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia de $5$ km del punto $B$? ¿Estaría la tienda $C$ dentro de esa zona?