Exercicis: El·lipse

Donada l'el·lipse d'equació $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determina les coordenades dels seus vèrtexs, les dels seus focs i el valor de la seva excentricitat.

Escriu l'equació reduïda d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades, sabent que un dels seus focs és el punt $F(4, 0)$ i que la longitud del seu eix major és $10$.

Calcula l'excentricitat de l'el·lipse l'equació de la qual és $16x^2 + 25y^2 = 400$.

Una el·lipse té el centre al punt $C(-2, 3)$, el seu eix major és paral·lel a l'eix d'abscisses i mesura $12$ unitats, i el seu eix menor mesura $8$ unitats. Escriu la seva equació en forma canònica.

Comprova si els punts $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ i $R(4, 2)$ són interiors, exteriors o pertanyen a l'el·lipse d'equació $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Troba l'equació d'una el·lipse centrada a l'origen, els focs de la qual estan sobre l'eix d'ordenades, sabent que la distància focal és de $8$ unitats i l'excentricitat és $0,8$.

A partir de l'equació de l'el·lipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indica les coordenades del seu centre i la longitud dels seus semieixos.

L'excentricitat d'una el·lipse és $\frac{1}{3}$ i el seu semieix menor mesura $4\sqrt{2}$. Calcula la mida del seu semieix major.

La Lucía ha de determinar els elements característics de l'el·lipse d'equació $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$. En el seu examen escriu la resolució següent:

«Com que el primer denominador és $9$, el semieix major és $a = \sqrt{9} = 3$. Com que el segon denominador és $25$, el semieix menor és $b = \sqrt{25} = 5$. Com que $x^2$ està en primer lloc, els focus estan situats sobre l'eix $X$. Aplicant el teorema de Pitàgores, la semidistància focal és $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$. Per tant, els focus són $F_1(-\sqrt{34}, 0)$ i $F_2(\sqrt{34}, 0)$, i l'excentricitat val $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{34}}{3} \approx 1{,}94$».

1. a) Identifica i explica els tres errors conceptuals que ha comès la Lucía.
2. b) Recolzant-te en el triangle rectangle que relaciona $a$, $b$ i $c$, justifica per què és geomètricament impossible que en una el·lipse l'excentricitat sigui més gran que $1$.
3. c) Corregeix l'exercici determinant els valors correctes dels semieixos, les coordenades exactes dels focus i el valor de l'excentricitat.

Es volen dissenyar dues el·lipses concèntriques diferents, totes dues centrades a l'origen de coordenades i amb els seus focus situats sobre l'eix $X$ en els mateixos punts $F_1(-4, 0)$ i $F_2(4, 0)$, però amb diferent grau d'aplanament:

• L'el·lipse $E_1$ ha de tenir una excentricitat $e_1 = 0{,}8$.

• L'el·lipse $E_2$ ha de tenir una excentricitat $e_2 = 0{,}5$.

1. a) Dedueix algebraicament els valors dels semieixos $a$ i $b$ de cadascuna de les dues el·lipses i escriu les seves equacions reduïdes corresponents.
2. b) Sense necessitat de representar-les amb taula de valors, raona quina de les dues el·lipses assolirà més amplada vertical (és a dir, més longitud del seu eix menor). Justifica la teva resposta analitzant com varia el semieix menor $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ en disminuir l'excentricitat quan la distància entre focus roman constant.

L'òrbita de Mercuri al voltant del Sol és una el·lipse en la qual el Sol ocupa un dels seus focs. La distància mínima de Mercuri al Sol (periheli) és de $46$ milions de quilòmetres, i la distància màxima (afeli) és de $70$ milions de quilòmetres. Calcula l'excentricitat de l'òrbita de Mercuri i la longitud del seu semieix menor en milions de quilòmetres.

Un pont de pedra sobre un riu té la forma d'un semiarc el·líptic. L'amplada del riu (eix major de l'el·lipse) és de $20\text{ m}$ i l'alçària màxima de l'arc al centre del riu és de $6\text{ m}$. Calcula a quina alçària es troba l'arc a una distància de $4\text{ m}$ del centre del riu.

Donada l'equació general $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demostra que correspon a una el·lipse. Per a fer-ho, expressa-la en forma canònica i determina les coordenades del seu centre, els seus vèrtexs i els seus focs.

Troba l'equació del lloc geomètric dels punts del pla $P(x, y)$ la suma de distàncies dels quals als punts $F_1(-3, 0)$ i $F_2(3, 0)$ és sempre igual a $10$. Simplifica l'expressió fins a obtenir l'equació reduïda d'una el·lipse.

A la galeria dels sostirs, que té forma d'el·lipse, dues persones situades als focs poden escoltar-se perfectament encara que parlin en un sostir. Si la galeria té una longitud total de $34\text{ m}$ i una amplada màxima de $16\text{ m}$, a quina distància del centre de la sala s'ha de situar cada persona per a aprofitar aquest fenomen acústic?

Estudia la posició relativa de la recta d'equació $2x + y - 5 = 0$ i l'el·lipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Si es tallen, troba les coordenades dels punts d'intersecció.

Determina el lloc geomètric dels punts del pla la distància dels quals al punt $F(4, 0)$ és igual a la meitat de la seva distància a la recta d'equació $x - 16 = 0$. Identifica la cònica resultant i calcula'n el centre i la longitud dels seus semieixos.

En un mecanisme de rellotgeria, un engranatge té forma el·líptica. Se sap que la seva equació de contorn ve donada per $x^2 + 4y^2 = 16$. Es vol col·locar un passador petit en un punt de l'el·lipse l'abscissa del qual sigui el doble que la seva ordenada. Calcula les coordenades d'aquest punt (assumint que totes dues són positives) i la distància exacta d'aquest punt al centre de l'engranatge.

La pista perimetral d'un pavelló poliesportiu té forma el·líptica amb l'eix major recolzat sobre l'eix $X$. La longitud màxima del recinte (eix major) és de $100\text{ m}$ ($a = 50\text{ m}$) i l'amplada màxima (eix menor) és de $96\text{ m}$ ($b = 48\text{ m}$).

1. a) Estima: Observa que els semieixos només difereixen en un $4\,\%$ ($48\text{ m}$ enfront de $50\text{ m}$). Abans de calcular res, estima intuïtivament a quina distància del centre creus que estaran els focus (a menys de $5\text{ m}$, o a més de $10\text{ m}$?) i si l'excentricitat estarà per sota de $0{,}1$ o notablement per sobre. Justifica breument la teva intuïció.
2. b) Calcula: Troba el valor exacte de la semidistància focal $c$, les coordenades dels focus i l'excentricitat $e$.
3. c) Comprova i reflexiona: Compara el resultat exacte obtingut amb la teva estimació inicial. Estan els focus tan a prop del centre com semblava suggerir l'escassa diferència entre semieixos? Explica per què la relació pitagòrica $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ fa que petites variacions percentuals entre $a$ i $b$ provoquin desplaçaments focals i valors d'excentricitat inesperadament grans a la vista humana.

En una carretera autonòmica es projecta un túnel la secció transversal del qual té forma de semiel·lipse (tallada pel seu eix major sobre el paviment horitzontal). L'amplada total utilitzable de la calçada a la base és de $10\text{ m}$ i l'alçària màxima en el punt central de la volta és de $4\text{ m}$. La calçada disposa de dos carrils de circulació de $3\text{ m}$ d'amplada cadascun (un per sentit), situats simètricament respecte al centre, i flanquejats per sengles vorals d'$1\text{ m}$ d'amplada als extrems exteriors.

1. a) Situa l'origen de coordenades al centre de la calçada sobre el terra i escriu l'equació matemàtica que descriu el perfil de la volta del túnel indicant el rang de validesa de les variables.
2. b) Un vehicle de transport especial de secció rectangular fa $3{,}10\text{ m}$ d'alçària i circula estrictament dins del seu carril (de manera que el seu punt més allunyat del centre es troba a la vora exterior del carril, a $x = 3\text{ m}$). Determina algebraicament l'alçària lliure que ofereix la volta en aquesta vertical.
3. c) Dictamina si el vehicle pot transitar pel carril sense fregar l'estructura i calcula el marge de seguretat vertical existent en el punt més desfavorable.

Troba les equacions de les rectes tangents a l'el·lipse d'equació $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ que passen pel punt exterior $P(0, 5)$.

Determina les equacions de les rectes tangents a l'el·lipse $x^2 + 2y^2 = 18$ que són paral·leles a la recta d'equació $x - y + 4 = 0$.

Calcula els valors del paràmetre $k$ perquè la recta $x + 2y + k = 0$ sigui tangent a l'el·lipse d'equació $x^2 + 4y^2 = 20$.

Considera la circumferència d'equació $x^2 + y^2 = 100$. A cada punt $A(x, y)$ de la circumferència se li associa un punt $P(x, y')$ que té la mateixa abscissa, però la seva ordenada és el $60\%$ de l'ordenada de $A$. Demostra que el lloc geomètric dels punts $P$ és una el·lipse i determina'n l'equació, el centre i els focs.

Es vol dissenyar una finestra rectangular que estigui inscrita en un forat el·líptic d'equació $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Els costats del rectangle han de ser paral·lels als eixos de l'el·lipse. Si es vol que el rectangle tingui una àrea total de $24\text{ m}^2$, quines han de ser les seves dimensions exactes?

Una plaça major té forma d'el·lipse. Es vol pavimentar un camí recte que uneixi el focus situat més a l'esquerra, $F_1$, amb un punt $P$ de l'el·lipse situat al segon quadrant. Se sap que l'eix major de la plaça mesura $100\text{ m}$ i l'eix menor $60\text{ m}$. Si l'angle que forma el segment $F_1P$ amb el semieix positiu d'abscisses és de $60^\circ$, calcula la longitud exacta del camí pavimentat.

Una el·lipse està centrada a l'origen i els seus eixos de simetria coincideixen amb els eixos de coordenades cartesianes. Si se sap que l'el·lipse passa pels punts $A(2, \sqrt{3})$ i $B(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$, troba l'equació de l'el·lipse i calcula la distància exacta entre els seus focs.

Troba el lloc geomètric dels centres de les circumferències que són tangents interiorment a la circumferència d'equació $x^2 + y^2 = 100$ i que passen pel punt fix $A(6, 0)$. Demostra que aquest lloc geomètric és una el·lipse, troba la seva equació canònica i determina les coordenades dels seus focs.

Per classificar la posició relativa d'un punt $P(x_0, y_0)$ respecte a una el·lipse (determinar si és interior, exterior o pertany a la corba) els focus de la qual són $F_1(-3, 0)$ i $F_2(3, 0)$ i amb constant de definició $2a = 10$, dos estudiants proposen procediments diferents:

• Mètode de la Sofía (algebraic): Calcular $b$ a partir de la relació fonamental, construir l'equació reduïda $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ i comparar el valor numèric de $\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2}$ amb $1$.

• Mètode del Carlos (mètric): Recórrer a la definició com a lloc geomètric calculant la suma de distàncies euclidianes $d(P, F_1) + d(P, F_2)$ i comparar-la directament amb $2a = 10$.

1. a) Aplica detalladament tots dos mètodes al punt $P\left(3, \dfrac{16}{5}\right)$, determina la seva posició relativa segons cadascun i comprova que tots dos camins condueixen a la mateixa conclusió.
2. b) Analitza els avantatges i els inconvenients de cada mètode per a aquest cas concret i argumenta quin resulta més ràpid i net quan es treballa sense calculadora.
3. c) Suposa que els focus estiguessin en els punts no alineats amb els eixos $F_1(1, 2)$ i $F_2(5, 5)$, mantenint la constant $2a = 10$. Justifica raonadament quin dels dos mètodes és clarament preferible en aquest nou escenari i explica la gran complicació algebraica que sorgiria en intentar aplicar l'altre a 1r de Batxillerat.

Una xarxa de monitoratge ambiental marí disposa de dues boies acústiques de referència fondejades en els punts $F_1(-6, 0)$ i $F_2(6, 0)$ (coordenades en quilòmetres). Un dron submarí de vigilància recorre de manera contínua una trajectòria el·líptica fixa centrada a l'origen amb semieix major $a = 10\text{ km}$ i focus en aquestes boies.

Per calibrar un sensor d'interferències, el dron s'ha de situar en un punt $P(x, y)$ de la seva ruta el·líptica tal que la distància a la boia $F_1$ sigui exactament el triple de la distància a la boia $F_2$; és a dir, $d(P, F_1) = 3\cdot d(P, F_2)$.

1. a) Sense utilitzar encara les coordenades analítiques de $P$, dedueix els valors numèrics exactes de les distàncies $d(P, F_1)$ i $d(P, F_2)$ recolzant-te exclusivament en la definició de l'el·lipse com a lloc geomètric.
2. b) Escriu l'equació reduïda de la trajectòria el·líptica i planteja un sistema d'equacions per calcular les coordenades exactes de tots els punts $P$ del pla que compleixen simultàniament l'equació de l'el·lipse i la condició de calibratge.
3. c) Seria possible calibrar el sensor en un punt d'aquesta mateixa trajectòria si la condició requerida fos $d(P, F_1) = 5\cdot d(P, F_2)$? Justifica la teva resposta mitjançant dos arguments geomètrics independents: un basat en la desigualtat triangular en el triangle de vèrtexs $P$, $F_1$ i $F_2$, i un altre basat en la distància mínima possible de qualsevol punt de l'el·lipse al focus $F_2$.