Binomio de Newton
Desarrollar $(2x-y)^4$ multiplicando paréntesis a mano es largo y fácil de estropear con los signos. El binomio de Newton da los coeficientes de ese desarrollo sin multiplicar nada: solo contando combinaciones. Es la misma idea que cuenta caminos en un tablero de Galton o genotipos en una población, y aparece cada vez que algo se repite $n$ veces con dos posibilidades.
Factorial y números combinatorios
El factorial de un número natural, $n!$, es el producto de todos los naturales desde $1$ hasta $n$ ($0!=1$ por convenio). El número combinatorio $\binom{n}{k}$ cuenta de cuántas formas se pueden elegir $k$ elementos de un total de $n$, sin importar el orden.
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica con factoriales: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica con factoriales: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.
Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.
El triángulo de Pascal
Los números combinatorios $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots,\binom{n}{n}$ de una fila $n$ son exactamente los coeficientes del desarrollo de $(a+b)^n$. Colocados en un triángulo, cada número es la suma de los dos que tiene encima: es el triángulo de Pascal (o de Tartaglia).
Utiliza el triángulo de Tartaglia (o de Pascal) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.
Utiliza el triángulo de Tartaglia (o de Pascal) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.
La fórmula del binomio de Newton
El binomio de Newton desarrolla $(a+b)^n$ sin multiplicar paréntesis uno a uno: cada término combina una potencia de $a$ que baja, una de $b$ que sube, y el coeficiente correspondiente del triángulo de Pascal.
Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.
Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.
Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.
Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.
Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.
Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.
El término general: un término sin desarrollar todo
No siempre hace falta el desarrollo completo: si solo se pide "el cuarto término" o "el término en $x^3$", la fórmula del término general lo da directamente, sin calcular los demás.
Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.
Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.
Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.
Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.
Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Radicales, fracciones y signos variables en el término general
El término general sirve igual cuando $a$ o $b$ son fracciones, raíces o llevan su propio signo; solo hay que tener cuidado al simplificar las potencias de $x$ que se suman o restan en el exponente.
Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.
Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.
Encuentra el quinto término en el desarrollo del binomio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifica el resultado combinando las potencias de $x$.
Encuentra el quinto término en el desarrollo del binomio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifica el resultado combinando las potencias de $x$.
Desarrolla y simplifica al máximo la expresión con radicales $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa los términos semejantes y deja el resultado sin…
Desarrolla y simplifica al máximo la expresión con radicales $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa los términos semejantes y deja el resultado sin exponentes negativos.
Propiedades de los números combinatorios y aplicaciones
Dos propiedades resultan muy útiles: la suma de todos los coeficientes de una fila es siempre $2^n$ (sustituyendo $a=b=1$), y sustituir valores concretos en la fórmula general permite aproximar o modelar situaciones reales.
Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el…
Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el desarrollo del binomio de Newton para $(1+1)^n$. Aplica este resultado para determinar cuántos grupos distintos (de cualquier tamaño, incluyendo el grupo vacío) se pueden formar con los $8$ empleados de una oficina.
Calcula la suma de todos los coeficientes del polinomio resultante al desarrollar $(3x - 2y)^5$. Pista: Piensa en qué valores numéricos puedes asignar a las variables…
Calcula la suma de todos los coeficientes del polinomio resultante al desarrollar $(3x - 2y)^5$. Pista: Piensa en qué valores numéricos puedes asignar a las variables $x$ e $y$ para que la expresión evaluada coincida exactamente con la suma de sus coeficientes.
En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton…
En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton para desarrollar $(1 + r)^5$. Si la tasa de interés es $r = 0,03$, calcula una aproximación del capital final para un capital inicial de $1000$ € utilizando únicamente los tres primeros términos del desarrollo.