Exercicis: Binomi de Newton

Calcula el valor de la següent expressió utilitzant les propietats dels factorials i els nombres combinatoris: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.

Desenvolupa completament el binomi $(x + 3)^4$ utilitzant la fórmula del binomi de Newton.

Desenvolupa l'expressió $(2a - b)^5$ i indica quants termes té el desenvolupament final.

Escriu directament el quart terme del desenvolupament del binomi $(x^2 - 2y)^7$, sense calcular tot el desenvolupament.

Utilitza el triangle de Tartaglia (o de Pascal) per obtenir els coeficients de la sisena fila i desenvolupa l'expressió $(m + 2n)^6$.

Calcula el coeficient del terme que conté $x^3$ en el desenvolupament del binomi $(x - 4)^5$.

Simplifica al màxim la següent expressió algebraica amb factorials: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Troba el valor del nombre natural $x$ que verifica la següent equació amb nombres combinatoris: $\binom{x}{2} = 21$.

Desenvolupa el binomi amb fraccions $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ i simplifica cadascun dels termes resultants.

La Sofía està calculant el terme que ocupa la quarta posició ($T_4$) en el desenvolupament del binomi $(x^2 - 2)^6$. Al seu examen escriu el següent:

«Com que demanen el quart terme, utilitzo $k = 4$:

$T_4 = \binom{6}{4} (x^2)^{6-4} (-2)^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16 = 240x^4$».

1. a) Identifica i explica de manera raonada l'error conceptual que comet la Sofía en associar el número de terme amb l'índex $k$ de la fórmula general $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
2. b) Corregeix la resolució calculant pas a pas el veritable quart terme del desenvolupament, indicant amb claredat el seu signe, el seu coeficient numèric i el seu grau.
3. c) Quin terme del desenvolupament va calcular realment la Sofía en el seu procediment?

Una companyia de telecomunicacions a Espanya aplica a una tarifa plana de fibra òptica un ajust per inflació del $3\,\%$ anual ($0,03$) durant $4$ anys consecutius. El cost al cap d'aquest temps resulta multiplicat pel factor $(1 + 0,03)^4$.

1. a) Estima mentalment el valor d'aquest factor multiplicador utilitzant únicament els dos primers sumands del binomi de Newton, $(1 + 0,03)^4 \approx \binom{4}{0} \cdot 1^4 + \binom{4}{1} \cdot 1^3 \cdot 0,03$, i indica quin percentatge de pujada total representa la teva estimació.
2. b) Desenvolupa completament la potència $(1 + 0,03)^4$ mitjançant el binomi de Newton i calcula el valor exacte del factor multiplicador amb quatre xifres decimals.
3. c) Comprova si l'estimació de l'apartat a) ha estat per excés o per defecte. Justifica per què en l'àmbit econòmic sol ser suficient quedar-se amb els dos primers termes quan l'increment anual és petit.

En un estudi de genètica de poblacions, la distribució teòrica de certs genotipus en una generació ve donada pel desenvolupament del binomi $(p + q)^4$, on $p$ i $q$ són les freqüències al·lèliques. Si $p = 0,6$ i $q = 0,4$, calcula el valor numèric del terme que conté l'expressió $p^2q^2$ i interpreta el seu significat matemàtic dins del desenvolupament.

Troba el terme independent de $x$ (és a dir, el terme que no conté la variable $x$) en el desenvolupament del binomi $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.

En economia, el capital final acumulat després de $5$ anys a un interès compost anual $r$ es calcula mitjançant la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utilitza el binomi de Newton per desenvolupar $(1 + r)^5$. Si el tipus d'interès és $r = 0,03$, calcula una aproximació del capital final per a un capital inicial de $1000$ € utilitzant únicament els tres primers termes del desenvolupament.

Troba el coeficient numèric que acompanya $x^4$ en el desenvolupament del binomi $\left(2x + \frac{1}{x^2}\right)^7$.

Demostra que la suma de tots els nombres combinatoris d'una mateixa fila $n$ compleix que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilitzant el desenvolupament del binomi de Newton per a $(1+1)^n$. Aplica aquest resultat per determinar quants grups diferents (de qualsevol mida, incloent-hi el grup buit) es poden formar amb els $8$ empleats d'una oficina.

Resol la següent equació en la qual intervenen nombres combinatoris, trobant el valor del nombre natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.

El volum d'un cub metàl·lic d'aresta $L$ a una certa temperatura és $V = L^3$. En escalfar-se, la seva aresta es dilata linealment passant a mesurar $L(1 + \alpha \Delta T)$. Desenvolupa l'expressió del nou volum utilitzant el binomi de Newton i, sabent que el producte $\alpha \Delta T$ és un valor molt petit (de l'ordre de $10^{-5}$), justifica matemàticament per què l'increment de volum $\Delta V$ es pot aproximar per l'expressió $3 L^3 \alpha \Delta T$.

Determina el terme central en el desenvolupament del binomi $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ i simplifica l'expressió resultant.

En un estudi de genètica, la combinació de certs al·lels es modela mitjançant l'expressió matemàtica $(p + q)^5$. Desenvolupa aquesta expressió sabent que les probabilitats venen donades per $p = 2x$ i $q = y^2$.

Troba el cinquè terme en el desenvolupament del binomi $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifica el resultat combinant les potències de $x$.

Determina el coeficient del terme que conté $x^4$ en desenvolupar l'expressió $(x - \sqrt{2})^6$. Expressa el resultat com un nombre enter.

La intensitat de llum que travessa una sèrie de $4$ filtres fotogràfics amb un factor d'atenuació variable $x$ es pot aproximar pel binomi $(1 - 0,2x)^4$. Desenvolupa aquesta expressió ordenant els termes de menor a major grau.

En el desenvolupament del binomi $(x + k)^4$, es sap que el coeficient del terme en $x^2$ és igual a $54$. Calcula el valor positiu del paràmetre $k$.

Calcula la suma de tots els coeficients del polinomi resultant en desenvolupar $(3x - 2y)^5$. Pista: Pensa en quins valors numèrics pots assignar a les variables $x$ i $y$ perquè l'expressió avaluada coincideixi exactament amb la suma dels seus coeficients.

Desenvolupa i simplifica al màxim l'expressió amb radicals $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa els termes semblants i deixa el resultat sense exponents negatius.

Un aparell de Galton (o quincunx) s'utilitza per demostrar la distribució binomial. Una bola que cau té la mateixa probabilitat d'anar a la dreta ($D$) que a l'esquerra ($I$) a cada clau. L'aparell de la figura té $4$ files de claus, així que la bola fa $4$ moviments i pot caure en $5$ compartiments. Cada compartiment porta escrit el nombre de moviments a la dreta que ha fet la bola. Els camins possibles es modelen amb el desenvolupament de $(I + D)^4$.

Observa la figura: la línia blava discontínua mostra un camí possible fins al compartiment ressaltat en vermell, que correspon a $1$ moviment a l'esquerra i $3$ a la dreta.

1. a) Desenvolupa el binomi $(I + D)^4$.

1. b) Indica algebraicament quants camins diferents porten al compartiment ressaltat en vermell.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) realitza una auditoria sobre el servei de paqueteria urgent en una comunitat autònoma analitzant una mostra de $7$ enviaments independents. Cada paquet pot arribar a temps ($P$) o amb retard ($R$). Tots els possibles resultats mostrals es modelitzen algebraicament mitjançant el desenvolupament del binomi $(P + R)^7$.

1. a) Escriu el desenvolupament complet del binomi mitjançant la fórmula de Newton i interpreta quin significat té en aquest context cada terme de la forma $\binom{7}{k} P^{7-k} R^k$.
2. b) Quantes configuracions mostrals diferents contenen almenys $5$ lliuraments puntuals?
3. c) La normativa autonòmica estableix que la qualitat és acceptable si el nombre de configuracions amb més lliuraments puntuals que retardats supera estrictament el $50\,\%$ del total de casos possibles ($2^7 = 128$). Utilitzant la simetria dels nombres combinatoris en el triangle de Pascal, determina el percentatge exacte de configuracions favorables i conclou raonadament si es compleix el criteri de la normativa.

En el desenvolupament algebraic del binomi $\left(2x^3 - \frac{k}{x}\right)^8$, on $k$ representa una constant real positiva:

1. a) Escriu l'expressió simplificada del terme general $T_{m+1} = \binom{8}{m} a^{8-m} b^m$ i planteja l'equació sobre l'exponent de $x$ per determinar quina posició ocupa el terme independent de $x$.
2. b) Sabent que el valor numèric d'aquest terme independent és $7\,168$, calcula raonadament el valor exacte de la constant $k$.
3. c) Comprova algebraicament si existeix en aquest desenvolupament algun terme de grau $5$ en la variable $x$, justificant la teva conclusió a partir del conjunt de valors admissibles per a l'índex $m$.

Troba el valor del paràmetre real $k$ perquè el coeficient del terme en $x^3$ en el desenvolupament del binomi $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ sigui exactament igual a $-160$.

En el control de qualitat d'una fàbrica de components electrònics, la probabilitat que un lot de $n$ components tingui exactament $k$ defectuosos ve donada pel terme general $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, on $p$ és la probabilitat que un component individual sigui defectuós. Si en un lot de $10$ components, la probabilitat de trobar exactament $4$ defectuosos és el doble que la de trobar $3$ defectuosos, planteja l'equació corresponent i troba el valor exacte de $p$.

Calcula el coeficient que acompanya $x^5$ en el desenvolupament complet del producte de polinomis $(1 + x)^4 \cdot (1 - 2x)^5$.

Demostra la propietat fonamental dels nombres combinatoris $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilitzant la definició algebraica amb factorials. Posteriorment, utilitza les propietats dels nombres combinatoris per resoldre el següent sistema d'equacions per a $x$ i $y$ naturals:

$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$

$4x - 5y = 19$

Troba el terme independent de $x$ en el desenvolupament del binomi $\left(\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$ i determina quina posició ocupa aquest terme en el desenvolupament ordenat segons les potències decreixents del primer summand.

En un experiment d'òptica, la intensitat de llum en un patró d'interferència múltiple requereix calcular el desenvolupament del binomi $(1 + \cos \theta)^n$. Per a un sistema de $6$ escletxes ($n=6$), desenvolupa l'expressió indicant els coeficients combinatoris i determina el coeficient del terme que conté $\cos^4 \theta$. Si en un punt de la pantalla es compleix que $\cos \theta = \frac{1}{2}$, quin és el valor exacte de la suma dels tres últims termes d'aquest desenvolupament?

Resol la següent equació algebraica en la qual intervenen nombres combinatoris i factorials, determinant el valor del nombre natural $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 2\binom{x}{2} = 14 + \binom{x-1}{1}$.

Determina els valors reals positius dels paràmetres $a$ i $b$ en el binomi $(ax + b)^5$ sabent que el segon terme del seu desenvolupament és $240x^4$ i el tercer terme del seu desenvolupament és $720x^3$.

Troba el terme independent de $x$ en el desenvolupament de l'expressió $\left(\frac{3x^2}{2} - \frac{1}{3x}\right)^9$. Mostra el plantejament general del terme $k$-èsim abans de resoldre'l.

Desenvolupa la suma dels binomis $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4$. Demostra que, tot i contenir nombres irracionals en la seva formulació inicial, el resultat final és un nombre enter.

En enginyeria, la tolerància de volum d'un contenidor cúbic de costat $L$ amb un error de fabricació $\Delta L$ ve donada per l'expressió $(L \pm \Delta L)^3$. Desenvolupa aquest binomi. Si $L = 10\ \text{cm}$ i l'error màxim és $\Delta L = 0,1\ \text{cm}$, calcula el terme d'error lineal, el quadràtic i el cúbic. Quin percentatge de l'error total representa el terme lineal $3L^2\Delta L$?

Es vol simplificar l'expressió combinatòria $E = \binom{n}{k} + 2\binom{n}{k+1} + \binom{n}{k+2}$, on $n, k \in \mathbb{N}$ amb $n \ge k+2$. Es proposen dos procediments de resolució:

• Mètode A (desenvolupament factorial): Expressar cada nombre combinatori segons la fórmula $\frac{n!}{p!\,(n-p)!}$, buscar el comú denominador entre factorials i simplificar la fracció resultant.

• Mètode B (propietats del triangle de Pascal): Descompondre el sumand central com a $\binom{n}{k+1} + \binom{n}{k+1}$ i aplicar reiteradament la identitat $\binom{m}{p} + \binom{m}{p+1} = \binom{m+1}{p+1}$.

1. a) Aplica el Mètode B justificant detalladament cada pas per condensar l'expressió $E$ en un únic nombre combinatori.
2. b) Explica per què el Mètode B és notablement més eficient i menys propens a errors algebraics que el Mètode A en aquest tipus de simplificacions.
3. c) Generalitza el raonament: determina, sense recórrer a factorials, a quin únic nombre combinatori equival la suma $\binom{n}{k} + 3\binom{n}{k+1} + 3\binom{n}{k+2} + \binom{n}{k+3}$, raonant la connexió existent entre els coeficients $(1, 3, 3, 1)$ i les files successives del triangle de Pascal.

L'empresa pública ADIF gestiona el traçat de les línies d'alta velocitat a Espanya. Durant episodis d'onada de calor registrats per l'AEMET, certs components cúbics d'acer de les catenàries, amb volum inicial $V_0$, experimenten una dilatació lineal relativa $\varepsilon = \alpha \cdot \Delta T = 4 \cdot 10^{-4}$ (adimensional). El nou volum després de la dilatació ve donat per $V = V_0(1 + \varepsilon)^3$.

1. a) Desenvolupa $(1 + \varepsilon)^3$ mitjançant el binomi de Newton i expressa l'increment relatiu exacte del volum, $\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{V - V_0}{V_0}$, en funció de les potències de $\varepsilon$.
2. b) Als manuals tècnics se sol emprar l'aproximació lineal $\frac{\Delta V}{V_0} \approx 3\varepsilon$. Estima la cota de l'error absolut que es comet amb aquesta aproximació sumant els termes omesos ($3\varepsilon^2 + \varepsilon^3$) i calcula el percentatge que representa aquest error respecte al valor aproximat $3\varepsilon$.
3. c) Un informe tècnic preliminar sosté que «si una onada de calor més severa duplica l'increment de temperatura ($\Delta T' = 2\Delta T$), l'error absolut de l'aproximació lineal també es duplicarà». Demostra analíticament mitjançant el desenvolupament del binomi per què aquesta afirmació és falsa i determina per quin factor es multiplica aproximadament l'error comès.