Exercicis: Rectes i punts notables d'un triangle

Calcula les coordenades del baricentre del triangle els vértexs del qual són $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ i $C(-1, 5)$.

Troba l'equació explícita de la mitjana que parteix del vértex $A$ en el triangle de vértexs $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ i $C(2, 6)$.

Determina l'equació general de l'altura traçada des del vértex $B$ en el triangle de vértexs $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(1, -5)$.

Calcula l'equació general de la mediatriu del costat $AB$ d'un triangle sabent que els seus vértexs corresponents són $A(2, 5)$ i $B(-4, 1)$.

Troba les coordenades de l'ortocentre del triangle rectangle de vértexs $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ i $C(0, 4)$.

Calcula les coordenades del circumcentre del triangle de vértexs $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ i $C(0, 6)$.

Comprova analíticament si el punt $P(1, 2)$ és el baricentre del triangle de vértexs $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ i $C(5, 1)$.

Calcula les equacions de les dues bisectrius dels angles formats per les rectes que contenen els costats d'un triangle, les equacions de les quals són $3x-4y+1=0$ i $4x+3y-5=0$.

En un examen de Matemàtiques d'1r de Batxillerat, es demana trobar l'equació general de l'altura corresponent al vèrtex $A$ en el triangle de vèrtexs $A(1, 3)$, $B(-2, 1)$ i $C(4, -1)$.

En Marcos lliura la següent resolució:

1r Troba el punt mitjà del costat $BC$: $M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1, 0)$.

2n Calcula el pendent del costat $BC$: $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3r Dedueix el pendent perpendicular: $m_\perp = 3$.

4t Escriu la recta amb pendent $3$ que passa per $M(1, 0)$: $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Identifica i explica detalladament l'error conceptual comès per en Marcos: quina recta notable ha calculat en realitat en lloc de l'altura? Tot seguit, redacta el procediment correcte i obtén l'equació general de l'altura que es demanava.

En un triangle $\triangle ABC$, es coneixen dos dels seus vèrtexs: $A(-3, 2)$ i $B(5, -4)$. Se sap a més que el seu baricentre (centre de gravetat) se situa en el punt $G(1, 1)$.

1. a) Planteja les equacions vectorials o analítiques necessàries i determina raonadament les coordenades del tercer vèrtex $C$.
2. b) Amb les coordenades dels tres vèrtexs ja calculades, classifica el triangle segons la longitud dels seus costats (equilàter, isòsceles o escalè), justificant la teva resposta amb el càlcul explícit dels seus mòduls.
3. c) Troba l'equació contínua de la recta que conté la mediana que parteix del vèrtex $C$.

Tres arbres en una plantació agrícola estan situats en els punts $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ i $C(1, 5)$ (coordenades expressades en desenes de metres). Es vol instal·lar un aspersor que equidisti dels tres arbres. Calcula les coordenades del punt on s'ha de col·locar (circumcentre) i el radi d'abast de l'aigua necessari per regar-los.

Tres antenes de telecomunicacions formen un triangle amb vértexs a $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ i $C(5, 5)$. Calcula la ubicació del centre de gravetat (baricentre) per col·locar un transmissor central, i determina la distància exacta des d'aquest transmissor fins a l'antena $C$.

En un triangle de vértexs $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ i $C(a, b)$, es sap que el baricentre és el punt $G(2, 1)$. Calcula les coordenades del vértex $C$ i l'equació contínua de la mitjana que parteix d'aquest vértex.

Un edifici té una planta triangular amb vértexs en els punts $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ i $C(2, 5)$. Calcula les coordenades de l'ortocentre d'aquest triangle.

L'ortocentre d'un triangle és el punt $H(2, 2)$. Es coneixen dos dels seus vértexs, que són $A(-1, 3)$ i $B(4, 1)$. Calcula les coordenades del vértex $C$.

Donat el triangle de vértexs $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ i $C(2, 6)$, troba les coordenades del seu baricentre i del seu ortocentre. A continuació, obtén l'equació general de la recta d'Euler que passa per tots dos punts.

Un triangle té vértexs $A(1, 1)$ i $B(5, 1)$. El vértex $C$ es troba sobre la recta d'equació $y = x+2$. Sabent que el triangle és isòsceles i que el costat desigual és $AB$, troba les coordenades del vértex $C$ i del seu circumcentre.

Tres refugis de muntanya estan situats en les coordenades $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ i $C(-2, -2)$ (expressades en quilòmetres). Un helicòpter de rescat es manté en vol estacionari en el circumcentre del triangle format pels refugis. Calcula les coordenades de l'helicòpter i el radi de la circumferència que abasta els tres refugis.

Considera el triangle de vèrtexs $A(-4, 0)$, $B(4, 0)$ i $C(0, 6)$.

1. a) Estima abans de calcular: Observant les coordenades i la simetria del triangle respecte a l'eix d'ordenades, sobre quina recta s'han de situar necessàriament el baricentre $G$, l'ortocentre $H$ i el circumcentre $O$? Classifica a més l'angle en el vèrtex $C$ (calculant el signe del producte escalar $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$) per raonar si l'ortocentre i el circumcentre quedaran dins o fora del triangle.
2. b) Calcula: Obtén analíticament les coordenades del circumcentre $O$ (mitjançant la intersecció de mediatrius o la condició d'equidistància als vèrtexs) i de l'ortocentre $H$ (intersecant dues altures).
3. c) Comprova: Troba les coordenades del baricentre $G$ mitjançant la seva fórmula directa i comprova si les teves estimacions de l'apartat a) eren correctes. Verifica numèricament si es compleix la relació de la recta d'Euler $\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$.

El dispositiu d'extinció d'incendis forestals de Castella-la Manxa (Pla INFOCAM) analitza la ubicació d'un lloc de comandament avançat helitransportat per coordinar tres torres de vigilància situades en els punts $A(1, 3)$, $B(8, 10)$ i $C(9, 3)$, les coordenades de les quals venen donades en quilòmetres respecte al centre comarcal. La comissió tècnica estudia dos criteris:

• Criteri 1 (Equidistància): Situar el lloc en el circumcentre $O$, de manera que la distància en línia recta a qualsevol de les tres torres sigui exactament la mateixa.

• Criteri 2 (Centre de masses): Situar el lloc en el baricentre $G$, de manera que es minimitzi el desplaçament mitjà habitual de l'helicòpter.

1. a) Modela analíticament ambdós criteris calculant les coordenades exactes de la base segons el Criteri 1 i segons el Criteri 2.
2. b) Si l'helicòpter de reconeixement té un radi d'acció garantit de $6\text{ km}$ sense repostar des del seu lloc de comandament, determina de manera justificada si ambdues ubicacions permeten arribar a les tres torres dins d'aquest límit de seguretat.

Donat un triangle rectangle genèric els vértexs del qual se situen a $A(0,0)$, $B(a,0)$ i $C(0,b)$ amb $a, b > 0$, demostra analíticament que el seu ortocentre coincideix amb l'origen de coordenades i el seu circumcentre és exactament el punt mitjà de la hipotenusa.

Els vértexs d'un triangle són $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ i $C(t, 2t)$, on $t$ és un paràmetre real que determina la posició del vértex $C$ sobre una recta. Troba l'equació del lloc geomètric que descriu el baricentre del triangle en variar $t$.

D'un triangle $ABC$ es coneix el vértex $A(1, 3)$ i les equacions de dues de les seves mitjanes: $x-2y+1=0$ i $y-1=0$. Calcula les coordenades dels vértexs $B$ i $C$.

Donats els vértexs d'un triangle $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ i $C(1, 5)$, troba les coordenades de l'ortocentre $H$, el baricentre $G$ i el circumcentre $O$. Demostra analíticament que la distància entre l'ortocentre i el baricentre és el doble de la distància entre el baricentre i el circumcentre ($HG = 2GO$).

Tres carreteres es creuen formant un triangle delimitat per les rectes $x=0$, $y=0$ i $3x+4y-12=0$. Calcula les coordenades de l'incentre per situar una rotonda tangent a les tres vies, i el radi d'aquesta rotonda.

En un triangle $ABC$, el vértex $A$ té coordenades $(-1, 2)$. Les altures traçades des dels vértexs $B$ i $C$ estan contingudes en les rectes d'equacions $x-y+1=0$ i $2x+y-4=0$ respectivament. Determina les coordenades dels vértexs $B$ i $C$.

Es coneix el vértex $A(2, 5)$ d'un triangle $ABC$. Les mediatrius dels costats $AB$ i $AC$ tenen per equacions $x-y+2=0$ i $2x+y-3=0$, respectivament. Troba les coordenades dels vértexs $B$ i $C$.

Troba les coordenades dels vèrtexs $B$ i $C$ d'un triangle sabent que el vèrtex $A$ és $(-3, 1)$, el seu circumcentre és el punt $O(5, 2)$ i el seu baricentre és $G(4, 2)$.

Per calcular les coordenades del circumcentre $O$ del triangle de vèrtexs $A(1, 5)$, $B(-1, 1)$ i $C(5, -2)$, tres estudiants proposen estratègies diferents:

• Estratègia A: Obtenir les equacions de dues mediatrius (calculant punts mitjans i vectors normals) i resoldre el sistema lineal $2 \times 2$.

• Estratègia B: Exigir la igualtat mètrica de distàncies $d(O, A)^2 = d(O, B)^2 = d(O, C)^2$ per a un punt genèric $O(x, y)$, desenvolupar les identitats notables i resoldre el sistema lineal resultant.

• Estratègia C: Comprovar primer les propietats geomètriques particulars del triangle (calculant els productes escalars entre els vectors dels seus costats) per si fos un triangle rectangle, cas en què una propietat teòrica permet trobar el circumcentre de manera directa.

1. a) Compara críticament les estratègies A i B: quantes etapes algebraiques requereix cadascuna i en quina és més fàcil cometre errors de signe o càlcul?
2. b) Aplica l'Estratègia C: calcula els vectors $\vec{BA}$ i $\vec{BC}$, efectua el seu producte escalar $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ i interpreta geomètricament el resultat obtingut.
3. c) Recolzant-te en la conclusió de l'apartat b), obtén les coordenades del circumcentre $O$ amb el mínim càlcul possible i justifica per què aquesta estratègia resulta molt superior a les altres dues per a aquest triangle concret.

En un triangle no equilàter $\triangle ABC$, s'han extraviat en el pla de treball les coordenades dels vèrtexs $B$ i $C$, però es coneixen amb certesa les dades següents:

• El circumcentre del triangle és $O(1, -2)$.

• L'ortocentre del triangle és $H(7, 4)$.

• Un dels vèrtexs és $A(-1, 2)$.

1. a) Dedueix raonadament les coordenades del baricentre $G$ utilitzant la propietat vectorial de la recta d'Euler ($\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$), demostrant que no cal conèixer prèviament els vèrtexs $B$ i $C$.
2. b) Sabent que el baricentre divideix la mediana que parteix d'$A$ en la raó $2:1$ des d'aquest vèrtex (és a dir, $\vec{AG} = 2\,\vec{GM_A}$, on $M_A$ és el punt mitjà del costat $BC$), troba les coordenades de $M_A$.
3. c) Justifica per què la recta que passa pel circumcentre $O$ i pel punt mitjà $M_A$ és necessàriament la mediatriu del segment $BC$. Escriu la seva equació general i dedueix a partir d'aquesta el pendent de la recta que conté el costat $BC$.
4. d) Explica de manera raonada com es podrien determinar amb exactitud les coordenades dels dos vèrtexs que falten, $B$ i $C$, a partir de la intersecció de la recta que conté el costat $BC$ amb la circumferència circumscrita de centre $O$ i radi $R = d(O, A)$ (no cal resoldre l'equació de segon grau resultant, n'hi ha prou amb formular el procediment i justificar per què proporciona exactament dues solucions).

Repte del tema. On ubicaries un heliport d'emergències per donar un servei òptim a tres municipis de la teva província?

1. Recollida de dades: Accedeix al visor de l'IGN o a Google Maps i tria tres localitats que formin un triangle. Fixa un origen de coordenades cartesianes (en km) per obtenir les coordenades dels tres vèrtexs: $A$, $B$ i $C$.

2. Construcció i rectes notables: Trasllada els punts a GeoGebra. Troba analíticament els punts mitjans dels costats i les equacions contínues i generals de dues mediatrius. Analitza la seva posició relativa i calcula el seu punt de tall per trobar el circumcentre (centre d'evacuació equidistant).

3. Mètrica i angles: Determina la distància euclidiana de l'heliport a cada municipi i la distància a la recta que uneix $A$ i $B$. Troba també l'angle del vèrtex $A$ tant en graus sexagesimals com en radians ($rad$) a partir dels vectors directors dels costats.

4. Proposta raonada: Elabora un informe d'una pàgina amb la gràfica de GeoGebra que justifiqui si convé més construir la base al circumcentre o al baricentre.

Es valorarà:

• Rigor en el càlcul analític d'equacions, distàncies i conversió d'angles.

• Correcció en trobar punts mitjans, punts notables i posicions relatives.

• Ús precís de GeoGebra i coherència en la justificació territorial triada.