Conceptos básicos

Dada la función polinómica $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calcula las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Un servicio de alquiler de bicicletas cobra una tarifa fija de $3$ euros por el alta del servicio, más $1,50$ euros por cada hora de uso. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el coste total con el tiempo de uso, e identifica cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente.

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

1. a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$
2. b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$

Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.

Determina analíticamente el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Expresa el resultado como unión de intervalos.

Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$.

Determina algebraicamente si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen ningún tipo de simetría:

1. a) $f(x) = x^4 - 2x^2$
2. b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$

Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4$ en los intervalos $[-1, 2]$ y $[2, 5]$.

La distancia $d$ (en metros) que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo $t$ (en segundos) se aproxima mediante la función $d(t) = 5t^2$. Calcula la velocidad media del objeto (que se corresponde con la Tasa de Variación Media) entre el primer y el tercer segundo ($t \in [1, 3]$), y entre el tercer y el quinto segundo ($t \in [3, 5]$).

Calcula la Tasa de Variación Media de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en los intervalos $[1, 2]$ y $[2, 4]$. ¿Qué indica el signo de los resultados sobre la monotonía de la función en esos intervalos?

Determina analíticamente la ecuación de las asíntotas verticales y horizontales de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$, determina el valor del parámetro $a$ para que la función tenga una asíntota horizontal en la recta $y = 4$. Con ese valor de $a$ ya calculado, halla también las ecuaciones de las asíntotas verticales de la función.

Dada la siguiente gráfica de una función definida a trozos, halla los valores de $f(-2)$, $f(1)$ y $f(4)$. A continuación, indica en qué puntos la función es discontinua y de qué tipo es cada discontinuidad.

La gráfica adjunta representa la altura en metros a la que se encuentra una cabina de una noria en función del tiempo en minutos. Observa la gráfica y responde:

1. a) ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indica su periodo.
2. b) ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la cabina?
3. c) ¿A qué altura se encuentra la cabina a los $10$ minutos exactos de empezar a girar?

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 5 & \text{si } 1 \le x < 4 \\ bx - 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$