Exercicis: Transformacions

Dada la funció $f(x) = x^2 - 3x$, escriu l'expressió algebraica de la funció $g(x)$ que s'obté en traslladar la gràfica de $f(x)$ quatre unitats cap a l'esquerra i dues unitats cap amunt.

La gràfica d'una funció $f(x)$ passa pel punt $P(-3, 5)$. Determina les coordenades del punt homòleg en les gràfiques de les funcions transformades següents:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

A partir de la gràfica de la funció $f(x)$ mostrada en la figura, descriu els passos geomètrics necessaris per obtenir la gràfica de la funció $g(x) = |f(x)|$ i calcula les coordenades dels nous vèrtexs o punts d'inflexió.

Un globus aerostàtic descendeix amb una velocitat constant. La seva altitud en metres ve donada per $A(t) = 800 - 50t$, on $t$ és el temps en minuts. Un segon globus inicia el seu descens $10$ minuts més tard exactament amb el mateix perfil de vol. Escriu l'expressió de l'altitud del segon globus $B(t)$ en funció de $A(t)$ i desenvolupa la seva expressió algebraica final.

Dada la funció elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indica quines transformacions geomètriques (traslladacions, dilatacions, reflexions) cal aplicar succesivament, i en quin ordre, per obtenir la funció $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

La funció $C(x)$ representa el cost en euros de produir $x$ components electrònics. A causa d'una millora tecnològica en la cadena de muntatge, ara es pot produir el triple de components per exactament el mateix cost total. Expressa la nova funció de cost $N(x)$ en termes de la funció original $C(x)$.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ definida en l'interval $[-4, 4]$. Determina el domini i el recorregut de la funció transformada $g(x) = f(x-3) + 1$.

Expressa la funció $g(x) = |-x^2 + 4|$ com una funció definida a trossos, eliminant el valor absolut i indicant clarament els intervals on l'expressió original canvia de signe.

Marcos està estudiant com transformar la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4x$. El seu objectiu és obtenir l'expressió analítica d'una nova funció $g(x)$ la gràfica de la qual sigui el resultat de desplaçar la de $f(x)$ exactament $3$ unitats cap a la dreta i, a continuació, reflectir-la respecte a l'eix d'abscisses ($X$). Marcos presenta la següent resolució a la seva llibreta:

«Per traslladar $3$ unitats a la dreta, sumo $3$ dins de l'argument: $x \to x + 3$. Per reflectir respecte a l'eix $X$, canvio el signe de la variable independent: $x \to -x$. Per tant, substituint en la fórmula obtinc: $g(x) = (-x + 3)^2 - 4(-x + 3)$».

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per Marcos en aplicar les transformacions.
2. b) Mostra el procediment correcte pas a pas i escriu l'expressió algebraica de $g(x)$ en la seva forma desenvolupada i simplificada.

A partir de la funció quadràtica elemental $f(x) = x^2$, es defineix una funció transformada $g(x) = a \cdot f(x - h) + k$, on $a$, $h$ i $k$ són nombres reals amb $a \ne 0$. Se sap que la gràfica de $g(x)$ té el vèrtex en el punt $V(-2, 5)$ i talla l'eix d'ordenades ($Y$) en el punt $(0, -3)$.

1. a) Dedueix raonadament, a partir de les propietats geomètriques de les traslacions, els valors dels paràmetres $h$ i $k$.
2. b) Planteja una equació utilitzant el punt de tall amb l'eix $Y$ per determinar el valor exacte del paràmetre $a$.
3. c) Explica quines tres transformacions geomètriques s'han aplicat sobre $f(x)$ per obtenir $g(x)$ (indicant ordre, magnituds i sentits) i escriu l'expressió algebraica final de $g(x)$ en forma polinòmica general ($Ax^2 + Bx + C$).

El benefici mensual d'una petita empresa tecnològica, en milers d'euros, es modelitza mitjançant la funció $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, on $x$ representa el mes de l'any ($x=1$ per al gener, etc.). L'empresa decideix endarrerir el llançament de la seva campanya de màrqueting un mes, la qual cosa suposa un desplaçament horitzontal de la corba de beneficis, i a més assumeix un increment de costos fixos de $3$ mil euros mensuals. Troba la nova expressió de la funció de beneficits $N(x)$ i determina en quin mes s'aconseguirà ara el benefici màxim.

En un estudi d'acústica, una ona sonora base es modelitza mitjançant la funció $S(t) = \sin(t)$. Per a un experiment, l'ona original s'amplifica multiplicant la seva amplitud per $4$ i es fa més aguda duplicant la seva freqüència. A més, s'introdueix un retard en l'emissió de $\frac{\pi}{4}$ segons. Escriu l'expressió analítica de la nova ona sonora $W(t)$ i calcula el seu nou període.

La gràfica de la funció $f(x)$ està formada per dos segments de recta que uneixen els punts $(-4, -2)$, $(0, 4)$ i $(4, -2)$. Es defineix una nova funció mitjançant la transformació $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Descriu la seqüència ordenada de transformacions geomètriques aplicades a $f(x)$.

• Calcula les coordenades exactes dels nous vèrtexs de la gràfica de $g(x)$.

L'eficiència d'un panell solar al llarg del dia ve donada per una funció $E(t)$. S'instal·la un nou model de panell que comença a generar energia $2$ hores abans i, a causa d'un recobriment especial de grafè, genera un $15\%$ més d'energia en cada instant equivalent. Expressa la nova funció d'eficiència $N(t)$ en termes de $E(t)$. Si el panell original aconseguia la seva màxima eficiència a les 14:00, a quina hora l'aconseguirà el nou panell?

Dada la funció elemental $f(x) = \sqrt{x}$, volem obtenir la funció $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.

Explica detalladament dues seqüències diferents de transformacions geomètriques (alterant l'ordre de les traslladacions i dilatacions horitzontals) que permeten obtenir $g(x)$ a partir de $f(x)$. Demostra algebraicament que totes dues seqüències condueixen a la mateixa expressió.

Expressa la funció racional $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ en la forma $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$, efectuant la divisió de polinomis. A partir d'aquest resultat, descriu pas a pas les transformacions geomètriques que cal aplicar a la hipèrbola equilàtera $y = \frac{1}{x}$ per obtenir la gràfica de $f(x)$.

Un cultiu de bacteris creix segons la funció $N(t) = 200 \cdot 3^{t/2}$, on $t$ és el temps en hores. Un segon cultiu $M(t)$ comença amb la quarta part de la població inicial del primer, però la seva taxa de creixement és idèntica i es va començar a mesurar $4$ hores abans. Expressa $M(t)$ en termes de $N(t)$ i simplifica l'expressió resultant per comprovar si totes dues poblacions seran iguals en algun moment.

Associa cadascuna de les expressions analítiques amb el panell corresponent en la figura, sabent que totes deriven de transformacions amb valor absolut aplicades a la funció base $y = x - 3$.

1. $y = |x| - 3$

2. $y = ||x-3| - 2|$

3. $y = ||x| - 3|$

4. $y = |x-3| - 2$

Considera la funció polinòmica $f(x) = x^2 - 2x - 8$ i la funció transformada $g(x) = |f(x)| - 5$.

1. a) Estima: Sense resoldre encara cap equació de segon grau, calcula les coordenades del vèrtex de $f(x)$ i els seus punts de tall amb l'eix $X$. A partir d'aquesta informació geomètrica, descriu quin efecte produeix el valor absolut sobre les zones negatives i com afecta la traslació vertical posterior de $-5$ unitats. Basant-te en això, estima raonadament quants punts de tall amb l'eix $X$ tindrà la funció $g(x)$ i entre quins valors de l'eix real s'haurien de situar aproximadament.
2. b) Comprova: Planteja i resol algebraicament l'equació $g(x) = 0$ transformant-la en dues equacions quadràtiques independents segons la definició de valor absolut. Troba tots els punts de tall exactes i comprova si el nombre de solucions i les seves posicions concorden amb l'estimació que has realitzat en l'apartat anterior.

Segons els registres d'una estació meteorològica de l'AEMET a l'altiplà castellà durant un dia clar de primavera, la temperatura $T(t)$ en graus Celsius ($^{\circ}\text{C}$) entre les $6:00$ i les $22:00$ hores ($t \in [6, 22]$) respon al model quadràtic:

$T(t) = -0,125(t - 14)^2 + 18$

on $t$ indica l'hora solar del dia.

L'endemà entra un front fred que modifica el règim tèrmic d'acord amb tres efectes simultanis sobre la gràfica:

1. El moment de màxima insolació i temperatura punta s'avança $2$ hores.

2. L'oscil·lació tèrmica diürna (diferència entre la temperatura màxima i la mínima) es redueix a la meitat, cosa que equival a comprimir la gràfica verticalment amb un factor d'escala $a = 0,5$.

3. Es produeix un descens tèrmic uniforme addicional de $3\,^{\circ}\text{C}$ al llarg de tot el dia per la massa d'aire fred.

1. a) Escriu la relació funcional entre el nou model $N(t)$ i el model inicial $T(t)$ en la forma $N(t) = a \cdot T(t - h) + k$, justificant detalladament el valor i el signe de cadascun dels paràmetres $a$, $h$ i $k$.
2. b) Desenvolupa i simplifica l'expressió analítica final de $N(t)$ en funció de l'hora $t$.
3. c) Determina raonadament a quina hora s'assolirà la temperatura màxima en aquest nou dia fred i quin serà el seu valor exacte.

Un enginyer dissenya el perfil d'un pont penjant utilitzant com a model la corba $f(x) = e^{-x^2}$. Per requisits geològics del terreny, necessita proposar un nou perfil $g(x) = a \cdot f(b \cdot x - c) + d$ que compleixi simultàniament les condicions següents:

• Ha de tenir el doble d'amplada que el disseny original.

• El centre de simetria del pont ha d'estar desplaçat $4$ unitats cap a la dreta.

• El perfil ha d'estar invertit (obrint cap amunt en lloc de cap avall), sense modificar-ne l'escala vertical.

• L'altura mínima del nou perfil s'ha de situar exactament a $10$ metres sobre el nivell del sòl.

Determina analíticament els valors precisos dels paràmetres $a$, $b$, $c$ i $d$.

Sigui $f(x)$ una funció real imparell i periòdica de període $T=6$. A partir d'ella es defineix la funció transformada $g(x) = f(x-2) + f(x+2)$.

Demostra analíticament si la funció $g(x)$ és parell, imparell o cap de les dues coses. Determina també si $g(x)$ és periòdica i, en cas afirmatiu, calcula el seu període mínim.

Dada una funció arbitrària $f(x)$ el domini de la qual és l'interval $[-6, 8]$ i el recorregut de la qual és l'interval $[-4, 12]$, es defineix una nova funció mitjançant l'expressió $h(x) = -2f\left(3 - \frac{x}{2}\right) + 5$.

Calcula de forma raonada, detallant els efectes de cada transformació aplicada, el domini i el recorregut de la funció $h(x)$.

En la figura es mostra la corba de llum d'una estrella variable, modelitzada per la funció $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, on $t$ es mesura en dies i $L$ en unitats de lluminositat. Un dens núvol de pols còsmica oscureix l'estrella de tal manera que la lluminositat observada $O(t)$ des de la Terra és exactament el valor absolut de la diferència entre $L(t)$ i la seva lluminositat mitjana.

Determina l'expressió analítica de $O(t)$, calcula el seu nou període i troba en quins instants $t \in [0, 12]$ la lluminositat observada és màxima.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la gràfica de la funció racional $f(x) = \frac{ax + 3}{x + b}$ sigui simètrica respecte al punt $C(4, 2)$.

Una paràbola té el seu vèrtex en l'origen de coordenades i passa pel punt $(2, 4)$. S'hi apliquen les transformacions següents de forma seqüencial:

1. Una contracció horitzontal que multiplica per $\frac{1}{3}$ les abscisses dels seus punts.

2. Una traslladació de $5$ unitats cap a l'esquerra.

3. Una reflexió respecte de l'eix d'abscisses.

4. Una traslladació de $7$ unitats cap amunt.

Troba l'expressió analítica de la funció final $g(x)$ i determina les coordenades exactes del seu nou vèrtex i dels seus punts de tall amb els eixos.

Sigui la funció $f(x) = \ln(x)$. Es fa un canvi de sistema de referència en el pla cartesià de manera que el nou origen de coordenades es situa en el punt $(-3, 2)$ del sistema antic, s'inverteix el sentit positiu de l'eix d'abscisses i la unitat de mesura de l'eix d'ordenades es redueix a la meitat. Escriu l'equació de la corba en el nou sistema de coordenades.

Una trajectòria programada per a un braç robòtic ve donada per la funció $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, que descriu una semicircumferència de radi $R$ centrada en l'origen. L'equip de disseny vol programar una nova trajectòria el·líptica $E(x)$ que tingui el seu centre en el punt $(h, k)$, un semieix horitzontal de longitud $a$ i un semieix vertical de longitud $b$ (representant únicament la meitat superior de l'el·lipse).

Expressa la funció final $E(x)$ indicant clarament la composició de transformacions geomètriques aplicades a la funció base $y = \sqrt{1 - x^2}$ (semicircumferència de radi $1$).

Es vol estudiar la funció transformada $g(x) = f(2x - 8)$ a partir d'una funció base $f(x)$ la gràfica de la qual és coneguda. Dos estudiants discuteixen sobre quin és el procediment correcte per construir la gràfica de $g(x)$ mitjançant transformacions elementals sobre la variable $x$:

• Mètode d'Alba (factoritzar l'escala horitzontal): Escriu $g(x) = f(2(x - 4))$ i afirma que s'ha d'aplicar primer una compressió horitzontal de factor $\frac{1}{2}$ respecte a l'eix $Y$ i després una traslació horitzontal de $4$ unitats cap a la dreta.

• Mètode de Bruno (traslació prèvia sense factor): Afirma que s'ha d'aplicar primer una traslació horitzontal de $8$ unitats cap a la dreta per obtenir $f(x - 8)$, i sobre aquesta gràfica aplicar una compressió horitzontal substituint $x$ per $2x$, cosa que comprimeix tota la gràfica a la meitat respecte a l'eix $Y$.

1. a) Comprova analíticament si tots dos mètodes condueixen al mateix resultat. Per fer-ho, pren un punt genèric $(x_0, y_0)$ que pertanyi a la gràfica de $f$ (és a dir, $y_0 = f(x_0)$) i determina quina coordenada $x$ li correspon en $g(x)$ segons cada mètode perquè es compleixi $g(x) = y_0$.
2. b) Analitza críticament els dos mètodes: per què el mètode d'Alba és el que es recomana habitualment en matemàtiques i quin és l'error típic en què solen caure els alumnes que intenten aplicar el mètode de Bruno sense parar prou atenció al centre de compressió?
3. c) Sabent que la funció base $f(x)$ té un mínim relatiu en el punt $(6, -3)$ i talla l'eix $X$ a $x = 2$ i a $x = 10$, tria el mètode que consideris més fiable per calcular les coordenades del nou mínim relatiu de $g(x)$ i els seus nous punts de tall amb l'eix $X$, justificant cada pas.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 1}$:

1. a) Efectua la divisió algebraica per expressar $f(x)$ en la forma canònica $f(x) = c + \frac{k}{x - h}$. A partir d'aquesta expressió, descriu amb precisió la seqüència de transformacions geomètriques elementals (traslacions, dilatacions i reflexions) que permeten transformar la hipèrbola bàsica $y = \frac{1}{x}$ en la gràfica de $f(x)$.
2. b) Es defineix la família de funcions transformades $g_m(x) = |f(x) + m|$, on $m \in \mathbb{R}$ és una constant. Sabent que $f(x)$ posseeix una asímptota horitzontal, dedueix raonadament per a quins valors del paràmetre $m$ la gràfica de $g_m(x)$ tindrà la seva asímptota horitzontal situada estrictament per sobre de la recta horitzontal $y = 3$.
3. c) Per al valor particular $m = -1$, obtén l'expressió simplificada dins del valor absolut de $g_{-1}(x) = |f(x) - 1|$, calcula les coordenades del punt de tall de la seva gràfica amb l'eix d'abscisses i determina l'interval exacte de la recta real en el qual la gràfica de $f(x) - 1$ ha patit una reflexió respecte a l'eix $X$ com a conseqüència del valor absolut.