Exercicis: Problemes d'optimització

Descompon el nombre $24$ com a suma de dos nombres positius de manera que el seu producte sigui màxim. Planteja la funció que s'ha d'optimitzar i resol-ho amb la derivada.

Entre tots els rectangles de perímetre $36\ \text{m}$, troba les dimensions del que té àrea màxima i calcula aquesta àrea.

Entre tots els rectangles d'àrea $100\ \text{m}^2$, troba les dimensions del que té perímetre mínim i el valor d'aquest perímetre.

L'àrea d'un corral rectangular que es construeix al costat d'una paret amb $40\ \text{m}$ de tanca per als altres tres costats ve donada, en funció d'un dels seus costats $x$, per $A(x) = 40x - 2x^2$. Troba el valor de $x$ que fa màxima l'àrea i el valor d'aquesta àrea màxima.

Quin nombre positiu excedeix el seu quadrat en la quantitat més gran possible? Expressa aquesta quantitat en funció del nombre i maximitza-la amb la derivada.

Un hortolà vol tancar amb una tanca un hort rectangular recolzat en el mur de casa seva, de manera que només necessita tancar tres costats. Disposa de $60\ \text{m}$ de tanca.

1. a) Expressa l'àrea de l'hort en funció del costat $x$ perpendicular al mur.

1. b) Troba les dimensions que fan màxima l'àrea i el valor d'aquesta àrea.

Troba dos nombres positius que sumin $18$ i la suma de quadrats dels quals sigui mínima.

Raona si la següent afirmació és vertadera o falsa: «El valor màxim d'una funció contínua en un interval tancat sempre s'assoleix en un punt on $f'(x) = 0$». Si és falsa, posa un contraexemple amb una funció senzilla en un interval concret.

La Lucía vol dissenyar un hort rectangular al seu poble aprofitant un mur de pedra ja existent, de manera que només necessita tancar tres costats (dos d'amplada i un de llargada). Disposa de $60\text{ m}$ de tela metàl·lica i desitja que la superfície conreable sigui màxima. En el seu examen, la Lucía escriu:

«Anomeno $x$ i $y$ els costats del rectangle. Com que el perímetre és $2x + 2y$, tenim $2x + 2y = 60 \implies y = 30 - x$. La funció d'àrea és $A(x) = x(30 - x) = 30x - x^2$. Derivant: $A'(x) = 30 - 2x = 0 \implies x = 15\text{ m}$. Per tant, les dimensions òptimes són $15\text{ m} \times 15\text{ m}$ i l'àrea màxima és $225\text{ m}^2$».

1. a) Localitza i explica els dos errors conceptuals comesos per la Lucía: un en el plantejament geomètric de la restricció i un altre en la justificació de l'extrem.
2. b) Corregeix l'exercici: defineix la variable triada i el seu domini físic admisible, planteja la funció d'àrea correcta, justifica mitjançant la derivada que es tracta d'un màxim absolut i calcula les veritables dimensions i l'àrea màxima de l'hort.

Una cooperativa agrícola de València disposa d'un pressupost que li permet instal·lar exactament $80\text{ m}$ de tancament per delimitar un recinte rectangular destinat a la cria ecològica d'aus.

1. a) Abans de fer cap càlcul analític amb derivades, estima raonadament quina forma geomètrica rectangular proporcionarà la major superfície possible i aventura quines dimensions ($x$ i $y$) i quina àrea màxima hauria de tenir. Justifica la teva intuïció a partir del principi de repartiment equilibrat i de la simetria geomètrica.
2. b) Modela el problema definint la variable $x$ (longitud d'un dels costats), el seu domini admisible en el context físic i la funció àrea $A(x)$.
3. c) Calcula el candidat a òptim mitjançant $A'(x) = 0$, demostra mitjançant el signe de la primera derivada o la segona derivada que es tracta d'un màxim absolut i calcula l'àrea màxima. Coincideix el resultat exacte amb la teva estimació inicial? Explica per què.

Amb una cartolina quadrada de $24\ \text{cm}$ de costat es vol construir una caixa sense tapa retallant quatre quadrats iguals de costat $x$ a les cantonades i doblant els laterals, com indica la figura.

1. a) Expressa el volum de la caixa $V(x)$ en funció de $x$ i indica el domini de validesa de $x$.

1. b) Troba el valor de $x$ que fa màxim el volum.

1. c) Calcula el volum màxim i comprova, amb el signe de $V'(x)$ a tots dos costats, que es tracta d'un màxim.

Un ramader disposa de $240\ \text{m}$ de tanca per construir un corral rectangular dividit en dues parcel·les per una tanca interior paral·lela a un dels costats, com a la figura.

1. a) Expressa l'àrea total del corral en funció d'un dels seus costats.

1. b) Determina les dimensions que fan màxima l'àrea total i calcula aquesta àrea.

Una empresa conservera dissenya llaunes cilíndriques amb tapa de $500\ \text{cm}^3$ de capacitat, com la de la figura.

1. a) Expressa la superfície total de xapa $S(r)$ en funció del radi $r$ de la base, fent servir la condició de volum per a aïllar l'altura.

1. b) Troba el radi que minimitza la quantitat de xapa (n'hi ha prou de donar el seu valor exacte i una aproximació amb dos decimals).

1. c) Quina relació mantenen l'altura i el radi a la llauna òptima?

Una botiga de roba ven cada setmana $80$ samarretes a $12\ \text{€}$ la unitat. S'estima que per cada euro que rebaixi el preu vendrà $10$ samarretes més a la setmana.

1. a) Expressa l'ingrés setmanal $I(x)$ en funció de la rebaixa $x$ en euros.

1. b) Troba el preu que maximitza l'ingrés i l'ingrés màxim setmanal.

Es busca el punt de la paràbola $y = x^2$ més proper al punt $P(0, 3)$.

1. a) Expressa el quadrat de la distància d'un punt genèric de la paràbola a $P$ (minimitzar el quadrat de la distància equival a minimitzar la distància).

1. b) Troba els punts de la paràbola que minimitzen aquesta distància i calcula la distància mínima.

Un dissenyador maqueta un pòster amb $400\ \text{cm}^2$ d'àrea impresa i marges de $4\ \text{cm}$ als quatre costats.

1. a) Expressa l'àrea total del paper en funció de l'amplada $x$ de la zona impresa.

1. b) Troba les dimensions del full complet que minimitzen la despesa de paper.

Amb un cable de $12\ \text{m}$ es tallen dos trossos: amb un es forma un quadrat i amb l'altre una circumferència, com a la figura.

1. a) Si $x$ és la longitud de cable destinada al quadrat, expressa l'àrea total tancada $A(x)$.

1. b) Troba el valor de $x$ que minimitza l'àrea total (deixa el resultat en funció de $\pi$).

1. c) Quina àrea s'obté si no es talla el cable i s'utilitza sencer per a la circumferència? És més gran o més petita que la mínima?

Un ajuntament construirà una piscina rectangular de $200\ \text{m}^2$ envoltada per una vorera de $2\ \text{m}$ d'amplada en dos costats oposats i de $1\ \text{m}$ en els altres dos, com mostra la figura.

1. a) Expressa l'àrea total del terreny (piscina més vorera) en funció d'un costat $x$ de la piscina.

1. b) Troba les dimensions de la piscina que fan mínim el terreny necessari i l'àrea total mínima.

Una empresa de transport de viatgers opera una línia d'autobús interurbà entre Sevilla i Huelva. Actualment el bitllet costa $10\text{ \euro}$ i viatgen una mitjana de $400$ usuaris al dia. Segons un estudi de mobilitat basat en enquestes de l'Instituto Nacional de Estadística (INE), per cada reducció de $0,50\text{ \euro}$ en el preu del bitllet, el nombre de viatgers diaris augmenta en $40$. Per raons de flota, la capacitat màxima no pot superar els $640$ passatgers diaris. Els costos diaris de l'empresa consten d'un cost fix de manteniment de $800\text{ \euro}$ i un cost variable de $2\text{ \euro}$ per viatger transportat.

1. a) Modela la funció de benefici diari $B(p)$ en funció del preu del bitllet $p$. Justifica amb detall el domini admisible de $p$ tenint en compte la capacitat màxima de la flota.
2. b) Troba els punts crítics de $B(p)$, determina el preu òptim del bitllet i el nombre de viatgers corresponent, i calcula el benefici màxim diari.
3. c) Comprova si l'òptim es troba a l'interior del domini admisible o en un extrem de l'interval i classifica'l mitjançant la segona derivada.

Un viticultor de La Rioja projecta tancar una parcel·la rectangular de $500\text{ m}^2$ per conrear dues varietats de raïm. Per separar-les, aixecarà una tanca divisòria interior paral·lela a un dels dos costats exteriors de la parcel·la.

El tancament del perímetre exterior costa $16\text{ \euro}$ per metre lineal, mentre que la tanca divisòria interior, en ser d'una malla més lleugera, té un cost unitari desconegut de $c\text{ \euro}$ per metre lineal.

Després d'encarregar un estudi per minimitzar la despesa total, l'equip tècnic li comunica que el cost total mínim s'assoleix quan la longitud de la tanca divisòria interior mesura exactament $20\text{ m}$.

1. a) Planteja la funció de cost total $C(y)$ en funció de la longitud $y$ de la tanca interior, indicant el seu domini admisible.
2. b) A partir de la dada de l'òptim conegut ($y = 20\text{ m}$), dedueix el valor del cost unitari $c$ de la tanca divisòria.
3. c) Comprova, utilitzant la segona derivada, que per a aquest valor de $c$ la funció presenta certament un mínim i calcula quin és el cost total mínim de la instal·lació.

D'una xapa rectangular de $60\ \text{cm} \times 30\ \text{cm}$ es retallen quadrats de costat $x$ a les cantonades per construir una caixa sense tapa.

1. a) Expressa el volum $V(x)$ i indica el domini de validesa de $x$.

1. b) Troba els valors de $x$ que anul·len $V'(x)$ i descarta el que no pertany al domini.

1. c) Comprova que el valor vàlid proporciona el volum màxim i calcula'l.

Una finestra està formada per un rectangle acabat a la part superior per un semicercle, com mostra la figura. El perímetre total de la finestra és $6\ \text{m}$.

1. a) Expressa l'àrea total en funció del radi $r$ del semicercle.

1. b) Troba el valor de $r$ que maximitza l'entrada de llum (deixa el resultat en funció de $\pi$ i dona una aproximació amb dos decimals).

1. c) Quina relació hi ha aleshores entre l'altura del rectangle i el radi?

D'un tronc de secció circular de diàmetre $d$ es vol tallar una biga de secció rectangular, com mostra la figura. La resistència de la biga a la flexió és proporcional al producte de la seva base pel quadrat de la seva altura: $R = k \cdot b \cdot h^2$.

1. a) Expressa la resistència en funció de la base $b$ fent servir la relació que relaciona $b$, $h$ i $d$.

1. b) Troba les dimensions de la biga de màxima resistència.

S'inscriu un rectangle amb la base sobre l'eix d'abscisses sota la paràbola $y = 4 - x^2$, com mostra la figura.

1. a) Expressa l'àrea del rectangle en funció de l'abscissa $x$ del seu vèrtex superior dret.

1. b) Troba les dimensions del rectangle d'àrea màxima i el valor d'aquesta àrea.

Amb un sector circular de cartolina de $9\ \text{cm}$ de radi es forma un con la generatriu del qual mesura $9\ \text{cm}$, com esquematitza la figura.

1. a) Expressa el volum del con en funció de la seva altura $h$ fent servir la relació entre generatriu, radi i altura.

1. b) Troba l'altura del con de volum màxim.

1. c) Calcula el radi de la base d'aquest con.

Per al problema de la caixa sense tapa construïda amb una cartolina quadrada de $32\ \text{cm}$ de costat, el volum de la qual és $V(x) = x \cdot (32 - 2x)^2$ amb $0 < x < 16$, un alumne escriu: «$V'(x) = 12x^2 - 256x + 1024 = 0$ dona $x = 16$ i $x = \frac{16}{3}$; com que el volum creix amb la mida de la retallada, trio $x = 16\ \text{cm}$». Assenyala els dos errors comesos en la conclusió (un de domini i un altre de justificació) i resol correctament el problema.

Demostra, fent servir la derivada, el resultat general següent: de tots els rectangles de perímetre $4p$, el d'àrea màxima és el quadrat de costat $p$. Planteja la funció àrea en funció d'un dels costats, justifica que el valor crític és un màxim i conclou.

Dos posts de $6\ \text{m}$ i $8\ \text{m}$ d'altura estan separats $10\ \text{m}$ en un terreny pla. Es vol ancorar un cable tens des del cim de cada post fins a un mateix punt del terra situat entre tots dos.

1. a) Si el punt d'ancoratge dista $x$ metres de la base del post de $6\ \text{m}$, expressa la longitud total del cable $L(x)$.

1. b) Troba el valor de $x$ que minimitza $L(x)$. (Suggeriment: en igualar $L'(x) = 0$ arribaràs a una proporció entre catets i hipotenuses; resol-la sense desenvolupar de més.)

1. c) Calcula la longitud mínima del cable. (Pista: coincideix amb la distància en línia recta entre el cim d'un post i el reflex del cim de l'altre respecte del terra.)

Es vol determinar el punt de la corba $y = x^2$ que té una distància mínima al punt $P(0;\, 2)$. Per abordar el problema, tres estudiants proposen estratègies diferents:

• El Sergio planteja la funció de distància euclidiana $d(x) = \sqrt{x^2 + (x^2 - 2)^2}$ i es disposa a calcular $d'(x)$ directament amb la regla de la cadena.

• L'Alba proposa minimitzar la funció del quadrat de la distància: $S(x) = [d(x)]^2 = x^2 + (x^2 - 2)^2$, afirmant que totes dues funcions assoleixen els seus extrems en els mateixos punts i que aquest camí redueix notablement la complexitat algebraica.

• El Carlos proposa un mètode geomètric: en el punt $Q(x;\, x^2)$ més proper, el vector $\vec{PQ}$ ha de ser perpendicular a la recta tangent a la paràbola.

1. a) Justifica formalment per què la proposta de l'Alba és matemàticament rigorosa, indicant quina propietat de la funció auxiliar $g(t) = t^2$ a $[0;\, +\infty)$ garanteix la coincidència d'extrems.
2. b) Resol el problema aplicant el mètode de l'Alba: troba els candidats a extrem, classifica'ls analitzant el signe de $S''(x)$ o de $S'(x)$ i calcula les coordenades dels punts més propers i la distància mínima.
3. c) Aplica el mètode geomètric del Carlos per comprovar els punts obtinguts. Compara els tres mètodes analitzant quin resulta més eficient i amb menys risc de cometre errors operatius.

Red Eléctrica de España (REE) planifica la tirada d'un cable d'alta tensió per connectar un parc eòlic marí al golf de Cadis amb una subestació costanera $S$. La plataforma marina $P$ se situa a $6\text{ km}$ mar endins, perpendicularment a un punt de la costa $B$. La subestació $S$ se situa sobre la línia recta de costa a una distància $L$ de $B$.

La tirada del cable submarí costa $50\,000\text{ \euro/km}$ i la tirada terrestre (al llarg de la costa des d'un punt d'atracada $X$ fins a la subestació $S$) costa $30\,000\text{ \euro/km}$. El cable anirà en línia recta per mar des de $P$ fins a $X$ (amb $X$ situat en el segment costaner entre $B$ i $S$), i des de $X$ fins a $S$ per terra.

1. a) Si la subestació dista $L = 10\text{ km}$ de $B$, defineix la variable $x$ com la distància de $B$ al punt d'atracada $X$, estableix el seu domini admisible i escriu la funció de cost total $C(x)$ en milers d'euros.
2. b) Resol $C'(x) = 0$, compara el valor obtingut amb els extrems de l'interval $[0;\, 10]$ i determina la ubicació òptima del punt d'atracada $X$ i el cost mínim de la tirada.
3. c) Suposa ara que la subestació estigués situada a només $L = 3\text{ km}$ de $B$. Explica per què el punt crític calculat a l'apartat anterior ja no és admisible, analitza el signe de $C'(x)$ en el nou domini $[0;\, 3]$ i determina justificadament on ha de desembarcar el cable per minimitzar el cost.

Repte del tema. A quin ritme canvia la temperatura a la teva ciutat? Converteix-te en analista meteorològic per modelitzar l'evolució tèrmica de la teva localitat aplicant el càlcul diferencial.

1. Dades reals i TVM: Entra al web oficial d'AEMET, anota la temperatura del teu municipi cada $3$ hores durant un dia complet ($8$ registres) i calcula la Taxa de Variació Mitjana entre la matinada i les primeres hores de la tarda. Explica la seva interpretació física ($^\circ\text{C}/\text{h}$).

2. Modelització i derivada: Introdueix les dades a GeoGebra o en un full de càlcul per obtenir una funció polinòmica d'ajust $T(t)$ de grau $3$. Aplica analíticament les regles de derivació per trobar la funció derivada $T'(t)$. Obtén l'equació de la recta tangent per a $t = 12,0\text{ h}$ i interpreta gràficament el seu pendent.

3. Optimització i conclusions: Resol l'equació $T'(t) = 0$ per localitzar els extrems relatius (màxima i mínima teòriques) i estudia els intervals de creixement. Redacta un informe breu comparant l'hora i valor òptims predits amb les dades reals observades.

Es valorarà:

• Obtenció rigorosa de les dades d'AEMET i càlcul i interpretació física correcta de la TVM.

• Precisió en el càlcul algebraic de $T'(t)$ i de la recta tangent.

• Aplicació solvent de la derivada per optimitzar (extrems i monotonia) i esperit crític en contrastar el model amb la realitat.