Operaciones con fracciones algebraicas
Una fracción algebraica como $\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}$ se maneja exactamente igual que $\dfrac{10}{15}$: para simplificarla, sumarla o dividirla hace falta factorizar antes, igual que con los números hace falta conocer sus factores primos. Todo lo trabajado en Polinomios y Factorización se junta aquí en un único bloque de cálculo.
Simplificar factorizando numerador y denominador
Simplificar una fracción algebraica es cancelar los factores que numerador y denominador tienen en común. El paso imprescindible, siempre, es factorizar los dos primero: sin factorizar no hay nada que cancelar.
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica factorizando el numerador y el denominador: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica factorizando el numerador y el denominador:
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Igual que con fracciones numéricas: multiplicar es numerador por numerador y denominador por denominador; dividir es multiplicar por la fracción inversa. Factorizar antes de multiplicar casi siempre permite simplificar sobre la marcha, sin desarrollar nada.
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y expresa el resultado en su forma más simple: $\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y expresa el resultado en su forma más simple:
$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Calcula la división de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica el resultado obtenido: $\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$
Calcula la división de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica el resultado obtenido:
$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$
Suma y resta: mínimo común múltiplo de los denominadores
Con el mismo denominador, se suman los numeradores sin tocar el denominador. Con denominadores distintos, hace falta un común denominador, que se halla factorizando cada denominador y tomando el mínimo común múltiplo.
Efectúa la suma de las siguientes fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador: $\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$
Efectúa la suma de las siguientes fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador:
$\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$
Resta las siguientes fracciones algebraicas reduciendo previamente a común denominador: $\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$
Resta las siguientes fracciones algebraicas reduciendo previamente a común denominador:
$\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$
Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas con denominadores de grado uno: $\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$
Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas con denominadores de grado uno:
$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$
Operaciones combinadas: respetar la jerarquía
Cuando se mezclan sumas, restas, productos y paréntesis, se resuelve primero lo que está entre paréntesis, y después se encadenan las operaciones de izquierda a derecha, igual que con números.
Opera la expresión dentro del paréntesis y luego multiplica para simplificar el resultado final: $\frac{x^2 - x}{x+1} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$
Opera la expresión dentro del paréntesis y luego multiplica para simplificar el resultado final:
$\frac{x^2 - x}{x+1} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$
Efectúa la siguiente operación combinada de fracciones algebraicas y simplifica al máximo: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$
Efectúa la siguiente operación combinada de fracciones algebraicas y simplifica al máximo:
$\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$
Realiza las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y simplifica el resultado al máximo:…
Realiza las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y simplifica el resultado al máximo:
$\left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) : \frac{4x}{x^2 - 1}$
Fracciones complejas: una fracción dentro de otra
Una fracción compleja tiene fracciones dentro de su numerador o de su denominador. Se simplifica reduciendo primero, por separado, el numerador y el denominador a una única fracción cada uno, y dividiendo al final.
Simplifica la siguiente fracción algebraica compleja reduciendo primero el numerador y el denominador de forma independiente: $\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica compleja reduciendo primero el numerador y el denominador de forma independiente:
$\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$
Simplifica la siguiente expresión algebraica iterada (fracción continua) operando desde el nivel más profundo hacia arriba, hasta obtener una fracción irreducible:…
Simplifica la siguiente expresión algebraica iterada (fracción continua) operando desde el nivel más profundo hacia arriba, hasta obtener una fracción irreducible:
$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}}$
Fracciones algebraicas en circuitos y óptica
Las fórmulas de resistencias en paralelo o de lentes delgadas son, en el fondo, sumas de fracciones algebraicas que hay que simplificar para obtener una única expresión en función de $x$.
En un circuito eléctrico, dos resistencias $R_1$ y $R_2$ están conectadas en paralelo. La resistencia equivalente $R_{eq}$ cumple la relación…
En un circuito eléctrico, dos resistencias $R_1$ y $R_2$ están conectadas en paralelo. La resistencia equivalente $R_{eq}$ cumple la relación $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Si el valor de las resistencias viene dado por los polinomios $R_1 = x^2 - 4$ y $R_2 = x^2 + 4x + 4$, obtén la expresión simplificada de la resistencia equivalente $R_{eq}$ en función de $x$.
La fórmula de las lentes delgadas en óptica establece que $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Si la distancia del objeto al centro óptico es…
La fórmula de las lentes delgadas en óptica establece que $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Si la distancia del objeto al centro óptico es $s_o = \frac{x^2+x}{2}$ y la distancia de la imagen es $s_i = \frac{x^2-1}{3}$, determina la expresión algebraica simplificada de la distancia focal $f$.
El coste medio de producción de un componente electrónico está dado por la expresión $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, donde $x$ es el volumen de…
El coste medio de producción de un componente electrónico está dado por la expresión $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, donde $x$ es el volumen de producción en miles de unidades. Por un ajuste de subvenciones, se le debe restar una tasa representada por la fracción $\frac{x^2-1}{x+2}$. Calcula la nueva expresión del coste medio simplificando previamente la primera fracción.