Inecuaciones con raíces cuadradas
Una raíz cuadrada real solo existe si lo de dentro no es negativo. Esa única restricción es la clave de todo el apartado: antes de hacer ninguna cuenta, hay que fijar el dominio de la inecuación. Después, para "quitar" la raíz se eleva al cuadrado, pero con una condición extra sobre el signo del otro miembro, o se generan soluciones que no son reales.
El dominio primero: el radicando no puede ser negativo
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Raíz menor que un número: $\sqrt{P(x)}<k$
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Raíz mayor que un número: $\sqrt{P(x)}>k$
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las…
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas de derrape en metros. Si en un tramo de autovía el límite de velocidad es de $120\text{ km/h}$, plantea una inecuación y determina qué longitudes de derrape indican que el conductor superaba el límite de velocidad.
Cuando el otro miembro lleva la incógnita
Si la inecuación es $\sqrt{P(x)}\lessgtr g(x)$ con $g(x)$ dependiendo de $x$, ya no basta con mirar un número fijo: hay que discutir el signo de $g(x)$, porque el paso de elevar al cuadrado solo es válido sin condiciones cuando los dos miembros tienen signo conocido.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Problemas y sistemas con raíces
Muchas magnitudes físicas se expresan con una raíz (periodo de un péndulo, distancia, velocidad de frenada). El planteamiento es el mismo: identificar el dominio, traducir el enunciado y resolver con las reglas anteriores. También puede combinarse con otra inecuación en un sistema.
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la…
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la aceleración de la gravedad. Asumiendo $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, halla el rango de longitudes $L$ para las cuales el periodo de oscilación está estrictamente entre $1$ y $3$ segundos.
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones: $\sqrt{3x + 1} \le 4$ $x^2 - 2x - 3 > 0$
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:
$\sqrt{3x + 1} \le 4$
$x^2 - 2x - 3 > 0$