Operaciones con complejos en forma binómica
Ya sabes qué es un número complejo y dónde vive. Ahora toca operar con ellos: sumarlos, multiplicarlos, dividirlos. La buena noticia es que no hay reglas nuevas que memorizar: todo sale de tratar $a+bi$ como un binomio normal y recordar un único dato extra, $i^2=-1$.
Suma y resta: parte real con parte real
Realiza las siguientes operaciones de suma y resta con números complejos: dados $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ y $z_3 = 5i$, calcula en forma binómica el resultado de…
Realiza las siguientes operaciones de suma y resta con números complejos: dados $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ y $z_3 = 5i$, calcula en forma binómica el resultado de la expresión $z_1 - z_2 + z_3$.
Dado el número complejo $z = -7 + 8i$, determina su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$. A continuación, efectúa la operación $z + \bar{z}$ y comprueba algebraicamente…
Dado el número complejo $z = -7 + 8i$, determina su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$. A continuación, efectúa la operación $z + \bar{z}$ y comprueba algebraicamente que el resultado es un número real.
Producto: como un binomio, con $i^2=-1$
Multiplica los siguientes números complejos expresados en forma binómica y simplifica el resultado agrupando la parte real y la parte imaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.
Multiplica los siguientes números complejos expresados en forma binómica y simplifica el resultado agrupando la parte real y la parte imaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ cuando se evalúa en el número complejo $z = 2 + i$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ cuando se evalúa en el número complejo $z = 2 + i$.
División: multiplica por el conjugado del denominador
El problema de dividir complejos es que no sabes qué significa "quitar la $i$ de abajo". La solución reutiliza algo que ya conoces de racionalizar raíces: multiplicar arriba y abajo por el conjugado, para que el denominador se vuelva real.
Efectúa la siguiente división de números complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Expresa el resultado final en la forma…
Efectúa la siguiente división de números complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Expresa el resultado final en la forma $a + bi$:
$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$
Determina el valor del parámetro real $k$ para que el resultado del siguiente cociente sea un número real puro (es decir, su parte imaginaria sea nula):…
Determina el valor del parámetro real $k$ para que el resultado del siguiente cociente sea un número real puro (es decir, su parte imaginaria sea nula):
$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$
Ecuaciones de segundo grado con soluciones complejas
Cuando el discriminante $b^2-4ac$ de $ax^2+bx+c=0$ es negativo, la fórmula te pide la raíz de un número negativo: ya no hay que decir "no tiene solución real", se extrae esa raíz usando $i$ y el problema queda resuelto en $\mathbb{C}$.
Determina los valores de los números reales $x$ e $y$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre números complejos: $(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$
Determina los valores de los números reales $x$ e $y$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre números complejos:
$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ y expresa sus dos soluciones: $x^2 + 25 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ y expresa sus dos soluciones:
$x^2 + 25 = 0$
Aplicación: impedancia en corriente alterna
En electrónica, la impedancia de un componente se representa como un número complejo $Z=R+Xi$ ($R$ = resistencia, $X$ = reactancia). Combinar componentes en un circuito significa sumar, multiplicar o dividir sus impedancias exactamente con las reglas que acabas de aprender.
En un circuito eléctrico de corriente alterna, dos componentes se conectan en paralelo. Sus impedancias complejas vienen dadas por $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ y…
En un circuito eléctrico de corriente alterna, dos componentes se conectan en paralelo. Sus impedancias complejas vienen dadas por $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ y $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calcula la impedancia equivalente del circuito, expresada en forma binómica, utilizando la fórmula física:
$Z_{eq} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$
Efectúa las operaciones combinadas indicadas a continuación, respetando la jerarquía de las mismas, y expresa el resultado final en forma binómica:…
Efectúa las operaciones combinadas indicadas a continuación, respetando la jerarquía de las mismas, y expresa el resultado final en forma binómica:
$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$