Razones del ángulo suma de dos ángulos
$\sin(\alpha+\beta)$ no es $\sin\alpha+\sin\beta$: es una de las trampas más comunes en trigonometría. La fórmula real es más larga, pero extremadamente útil: permite calcular razones de ángulos como $75º$ ($=45º+30º$) sin calculadora, descomponiéndolos en ángulos notables, y aparece en física al sumar ondas o giros sucesivos.
Las fórmulas de la suma: seno, coseno y tangente
Expresa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el…
Expresa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el resultado.
Calcular ángulos no notables combinando dos notables
$75º$, $105º$ o $15º$ no están en la tabla de ángulos notables, pero se escriben como suma de dos que sí lo están: $75º=45º+30º$, $105º=60º+45º$...
Calcula el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).
Calcula el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).
Determina el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Determina el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Halla el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si…
Halla el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si es necesario.
Usar las fórmulas al revés: de la expresión al valor único
Las mismas fórmulas, leídas de derecha a izquierda, convierten una expresión con cuatro términos en una sola razón trigonométrica.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:…
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:
$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$
Reduce la siguiente expresión a un valor numérico exacto: $\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Reduce la siguiente expresión a un valor numérico exacto:
$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Calcula de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utiliza este resultado geométrico para hallar el área…
Calcula de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utiliza este resultado geométrico para hallar el área exacta de un paralelogramo cuyos lados adyacentes miden $8$ cm y $10$ cm, sabiendo que el ángulo que forman es precisamente la suma de $15^\circ$ y $30^\circ$.
Cuando no conoces los ángulos, solo sus razones
Muchos problemas no dan el valor de $\alpha$ ni de $\beta$, solo alguna de sus razones. Hay que calcular primero las razones que falten (con la identidad fundamental, fijándose en el cuadrante) y después aplicar la fórmula de la suma.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante),…
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante), calcula el valor exacto de $\sin(\alpha + \beta)$.
Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determina el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determina el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con…
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcula el valor exacto de $\cos(\alpha + \beta)$.
Aplicaciones: paneles solares, engranajes y ecuaciones
Las fórmulas de la suma resuelven situaciones donde dos giros o inclinaciones se combinan: un panel solar que se inclina un ángulo extra, un brazo robótico con dos eslabones, o una ecuación en la que el ángulo suma es la incógnita.
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en…
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en invierno, un mecanismo aumenta la inclinación en un ángulo adicional de $15^\circ$. Calcula el valor exacto de $\tan(\alpha + 15^\circ)$ sin utilizar aproximaciones decimales, sabiendo que $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.
Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la…
Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la ecuación correspondiente a partir de la fórmula de adición.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresa las soluciones de forma exacta en grados.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresa las soluciones de forma exacta en grados.