Resolución de triángulos oblicuángulos
Ya conoces el teorema del seno y el del coseno por separado. Ahora toca lo que de verdad se usa en ingeniería y topografía: dado cualquier triángulo con tres datos, decidir qué teorema aplicar primero y resolverlo por completo.
Qué datos tienes, qué teorema usar
Tres datos que incluyan algún lado pueden permitir resolver un triángulo, pero deben ser compatibles y no siempre determinan uno único. En el caso lado-lado-ángulo opuesto puede haber cero, una o dos soluciones, como se estudia en el apartado Teorema del seno, sección «Calcular un ángulo: el caso ambiguo». Según los datos, el camino más corto es distinto.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.
Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.
Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.
En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.
En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.
Resolver el triángulo completo
"Resolver" un triángulo oblicuángulo es lo mismo que en el rectángulo: calcular los tres lados y los tres ángulos, combinando los dos teoremas en el orden que convenga.
En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la…
En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la longitud del lado $c$ (opuesto al ángulo $C$).
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Área de un triángulo sin su altura
Si conoces dos lados y el ángulo que forman, no necesitas calcular ninguna altura: hay una fórmula directa para el área.
Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.
Triangulación en ingeniería y navegación
La resolución de triángulos oblicuángulos es la base de la triangulación: medir rumbos y distancias desde puntos de referencia para fijar la posición de un tercer punto inaccesible.
Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$…
Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$ nudos y el segundo a $20$ nudos. Calcula la distancia en millas náuticas que separará a ambos barcos al cabo de $2$ horas de navegación.
Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$.…
Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$. Avanzamos $30$ metros en línea recta hacia la base del aerogenerador hasta llegar a un punto $B$, desde donde el nuevo ángulo de elevación es de $55^\circ$. Calcula la altura del aerogenerador.
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos…
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos de depresión desde el dron hacia las ciudades son tales que en el triángulo formado, el ángulo en $A$ es de $35^\circ$ y el ángulo en $B$ es de $62^\circ$. Calcula la altitud a la que vuela el dron respecto a la carretera.
Cuadriláteros y polígonos: dividir en triángulos
Cualquier cuadrilátero o polígono se puede resolver dividiéndolo en triángulos con una diagonal, y aplicando los teoremas del seno y el coseno a cada uno.
Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el…
Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el vértice $B$ es de $70^\circ$, calcula el área total del terreno dividiéndolo en dos triángulos.
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los…
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los triángulos centrales, calcula el perímetro y el área de dicho heptágono.