Ejercicios: Razones trigonométricas de un ángulo

Transforma a radianes los ángulos de $135^\circ$ y $330^\circ$, y expresa en grados sexagesimales los ángulos de $\frac{5\pi}{6}$ rad y $\frac{7\pi}{4}$ rad.

Calcula el valor exacto del seno, coseno y tangente del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden $5$ cm y $12$ cm.

Sabiendo que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo agudo, halla el valor exacto de $\sin \alpha$ y $\tan \alpha$ utilizando las identidades trigonométricas fundamentales.

Evalúa la siguiente expresión sustituyendo las razones trigonométricas por sus valores exactos, sin utilizar la calculadora:

$\sin^2(30^\circ) + \cos^2(45^\circ) - \tan(60^\circ) \cdot \sin(60^\circ)$

Determina en qué cuadrante se encuentra el ángulo $\beta$ si se cumple simultáneamente que $\sin \beta < 0$ y $\tan \beta > 0$.

Halla el ángulo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0^\circ$ y $360^\circ$) para el ángulo de $1950^\circ$ y determina el signo de su secante y de su cotangente.

En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es $\frac{3}{4}$. Determina el valor exacto de la secante y la cosecante de dicho ángulo.

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión trigonométrica correspondiente a ángulos situados sobre los semiejes:

$3\sin(90^\circ) - 2\cos(180^\circ) + 4\sin(270^\circ) - \cos(360^\circ)$

Sabiendo que $\tan \gamma = -\frac{12}{5}$ y que $\gamma$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \gamma$ y $\sec \gamma$.

Un edificio proyecta una sombra de $24$ metros cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de $53^\circ$. Escribe la expresión trigonométrica para calcular la altura del edificio y determina su valor. Si el ángulo de elevación se reduce a la mitad, ¿la longitud de la sombra se duplica? Justifica tu respuesta basándote en la no linealidad de la razón tangente.

Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica utilizando las identidades fundamentales, expresando el resultado en función de una única razón trigonométrica:

$\frac{\sin^3 x + \sin x \cdot \cos^2 x}{\cos x}$

Un disco de amoladora gira a $7200$ revoluciones por minuto. Expresa esta velocidad angular en radianes por segundo y calcula el ángulo exacto (en radianes) barrido por una partícula de su borde exterior en $0,15$ segundos.

Halla el valor exacto de la siguiente expresión reduciendo previamente todos los ángulos al primer cuadrante:

$\cos(120^\circ) \cdot \sin(225^\circ) - \tan(330^\circ) \cdot \cos(210^\circ)$

Un péndulo de $80$ cm de longitud se desplaza desde su posición vertical de equilibrio hasta formar un ángulo de $18^\circ$ con la vertical. Calcula la distancia horizontal exacta que se ha desplazado la masa del péndulo y la altura que ha ascendido respecto a su punto más bajo. Expresa los resultados en función de las razones trigonométricas de $18^\circ$.

Calcula los valores exactos de $\cot \alpha$ y $\csc \alpha$ sabiendo que $\sec \alpha = 3$ y que el seno del ángulo es negativo.

Para optimizar la captación de energía solar en invierno, un panel rectangular de $2$ metros de largo se levanta apoyando uno de sus lados menores en el suelo plano, de forma que el lado opuesto queda exactamente a $1,2$ metros de altura. Determina el valor exacto del coseno y la tangente del ángulo de inclinación del panel.

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos y las relaciones fundamentales utilizadas. Asume que $\alpha$ es un ángulo para el cual todas las razones están definidas:

$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = 2\sec \alpha$

Demuestra que el área de un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $R$ viene dada por la expresión $A = \frac{n \cdot R^2}{2} \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$. A continuación, aplica la fórmula para calcular el área exacta de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio $10$ cm.

Dada la relación $5\sin \theta - 2\cos \theta = 0$, determina todos los valores exactos posibles para $\sin \theta$, $\cos \theta$ y $\tan \theta$. Discute razonadamente en qué cuadrantes puede encontrarse el ángulo $\theta$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica, asumiendo que $x$ es un ángulo del primer cuadrante. Presta especial atención a los signos al reducir a dicho cuadrante:

$\frac{\sin(\pi - x) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cdot \tan(2\pi - x)}{\cos(\pi + x) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)}$

Encuentra todos los ángulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ que satisfacen la siguiente ecuación trigonométrica:

$2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha = 0$

(Pista: expresa toda la ecuación en función de una única razón trigonométrica utilizando la identidad fundamental).

Un rayo de luz pasa de un medio líquido con índice de refracción $n_1 = 1,33$ a un cristal con índice $n_2 = 1,52$. La ley de Snell establece que $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$, donde $\theta_1$ y $\theta_2$ son los ángulos de incidencia y refracción medidos respecto a la normal a la superficie. Si el rayo incide con un ángulo $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ rad, determina el valor exacto del coseno del ángulo de refracción $\theta_2$.

Dos poleas circulares de radios $R = 15$ cm y $r = 5$ cm están conectadas por una correa tensa que se cruza entre ellas. La distancia entre los centros de las poleas es de $40$ cm. Si $\alpha$ es el ángulo que forma el tramo recto de la correa con la línea imaginaria que une los centros, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y la longitud total del tramo recto de la correa comprendido entre los dos puntos de tangencia.

Demuestra que si $\alpha$ y $\beta$ son dos ángulos agudos complementarios (es decir, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ rad), entonces se verifica siempre la siguiente relación trigonométrica:

$\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\sec \alpha \cdot \sec \beta} = 1$