Ejercicios: Función polinómica

Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Halla la expresión analítica de la función afín que pasa por los puntos $A(2, -3)$ y $B(5, 6)$.

Calcula analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $p(x) = x^3 - 4x$.

La altura en metros de un dron de observación en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcula la altura a la que se encuentra el dron en los instantes $t = 1$ y $t = 3$.

Indica si la parábola dada por la función $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ es cóncava (ramas hacia abajo) o convexa (ramas hacia arriba) y calcula las coordenadas exactas de su vértice.

Analiza el comportamiento en el infinito (ramas infinitas) de la función polinómica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando el valor de sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Encuentra las raíces de la función polinómica de segundo grado $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

Calcula el valor del parámetro $c$ para que la función cuadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ pase por el punto $(-1, 10)$.

Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(3, -2)$ y que pasa por el punto $P(5, 6)$. Expresa el resultado en la forma $y = ax^2 + bx + c$.

Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando la orilla recta de un río, por lo que no necesita poner valla en ese lado. Expresa el área del huerto en función de la anchura $x$ perpendicular al río y determina las dimensiones que maximizan dicha área.

Se lanza un proyectil hacia arriba de forma que su altura en metros respecto al tiempo en segundos sigue la función $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcula la altura máxima que alcanza el proyectil y el instante de tiempo en el que ocurre.

Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 4)$ y $(-1, 6)$.

El precio de venta en euros de un artículo en función del número de unidades $x$ demandadas en el mercado viene dado por la función $p(x) = 120 - 2x$. Escribe la función de ingresos totales $R(x)$ y calcula cuántas unidades deben venderse para maximizar los ingresos.

Calcula analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = 2x - 5$.

Dada la función cuadrática $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, determina de forma razonada sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Encuentra las raíces de la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y estudia su signo en toda la recta real indicando los intervalos donde la función es positiva y negativa.

Halla la expresión analítica de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyas únicas raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$, sabiendo además que su gráfica corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 16)$.

Una empresa tecnológica vende $x$ unidades de un determinado componente electrónico. El precio unitario de venta modelizado en euros es $p(x) = 200 - 0,5x$. Los costes totales de producción siguen la función $C(x) = 5000 + 20x$. Expresa la función de beneficios $B(x)$, determina el número de unidades que maximiza el beneficio y calcula a cuánto asciende dicho beneficio máximo.

Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx - 4$ es tangente a la parábola $y = x^2 - 3x + 5$.

El cable principal de un puente colgante adopta la forma de una parábola. La distancia horizontal entre las torres de soporte es de $120$ metros y el punto más bajo del cable se encuentra a $20$ metros por debajo del punto de enganche en las torres. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, halla la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30$ metros del centro.

Una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ es impar. Sabiendo que pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(2, 4)$, determina su expresión analítica y calcula todos sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $40$ cm de largo por $30$ cm de ancho. Se desea construir una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y doblando las solapas resultantes. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como una función polinómica, indica cuál es su dominio válido en el contexto de este problema geométrico y calcula el volumen si se recorta un cuadrado de $5$ cm de lado.

Calcula el conjunto de valores del parámetro $k$ para que la función polinómica $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ tenga exactamente dos raíces reales distintas.

Considera la familia de funciones cuadráticas de la forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sabiendo que la gráfica pasa por el origen de coordenadas y que su vértice se encuentra sobre la recta $y = -x + 1$, encuentra la expresión analítica de la función o funciones que cumplen estas condiciones.