Ejercicios: Término general

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.

Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión aritmética:

$5, 9, 13, 17, 21, \dots$

Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión geométrica:

$3, -6, 12, -24, 48, \dots$

Escribe el término general $f_n$ de la siguiente sucesión de fracciones:

$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$

Dada la ley de recurrencia $a_1 = 2$ y $a_n = 3a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los cuatro primeros términos de la sucesión.

Si el término general de una sucesión es $b_n = n^2 - 5n + 6$, averigua qué valor exacto tiene el término que ocupa la posición vigésima ($b_{20}$).

Escribe el término general de una sucesión cuyos términos son números enteros consecutivos pero con signos alternados:

$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$

Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.

Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de $2 \text{ m}^2$:

1. a) Escribe el término general $S_n$ que representa la superficie cubierta al cabo de $n$ semanas.
2. b) Calcula cuántas semanas completas deben pasar para que la superficie cubierta supere por primera vez los $1000 \text{ m}^2$.

Encuentra el término general $a_n$ de la siguiente sucesión combinando los patrones que rigen su numerador y su denominador de forma independiente:

$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$

Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por hexágonos adyacentes que comparten uno o varios lados. La Figura 1 está formada por 6 palillos, la Figura 2 por 11 palillos y la Figura 3 por 16 palillos. Escribe el término general del número de palillos $P_n$ necesarios para construir la Figura $n$.

El valor de mercado de un coche nuevo es de $24\,000$ €. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Encuentra el término general $V_n$ que expresa el valor del coche al cabo de $n$ años (considerando $n=0$ el momento de la compra), y determina su valor estimado al cabo de $5$ años.

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y simplifica el resultado al máximo.

Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula los términos de la sucesión hasta $x_6$ y deduce una fórmula explícita para el término general $x_n$ en función de potencias de $2$.

Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos respecto al día anterior. Expresa el término general $d_n$ de la distancia en kilómetros recorrida el día $n$. ¿Qué día de su entrenamiento correrá exactamente $15$ km?

Averigua el término general de la sucesión $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ y utilízalo para calcular el valor exacto del término que ocupa la posición quincuagésima ($a_{50}$).

Se construye un fractal geométrico a partir de un triángulo equilátero de área $A$. En cada paso, se unen los puntos medios de los lados de los triángulos no sombreados para formar 4 triángulos más pequeños, y se sombrea exclusivamente el central. Encuentra el término general $T_n$ que expresa el número de nuevos triángulos sombreados que se añaden en el paso $n$, y el término general $A_n$ para el área de uno solo de esos nuevos triángulos añadidos en el paso $n$.

Demuestra matemáticamente, estudiando el signo algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, si la sucesión $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote contra el suelo, la pelota alcanza una altura igual a $\frac{3}{4}$ de la altura máxima alcanzada en el rebote inmediatamente anterior. Escribe el término general $h_n$ de la altura alcanzada tras el $n$-ésimo rebote. Utilizando logaritmos, determina después de cuántos rebotes la altura máxima será por primera vez inferior a $1$ metro.

Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento dispar que presentan los términos pares y los términos impares.

En una red de ordenadores, el número total de conexiones directas posibles entre $n$ equipos (si todos están conectados físicamente con todos) forma una sucesión $C_n$. Sabiendo que $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$, y $C_4 = 6$, determina el término general $C_n$. A partir de él, deduce cuántos equipos componen una red que tiene exactamente $1225$ conexiones directas.

Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una nueva sucesión auxiliar $b_n = a_n + 1$. Demuestra que $b_n$ es una progresión geométrica, halla su término general $b_n$ y, a partir de él, deduce el término general de $a_n$.

Estudia la acotación de la sucesión $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Para ello, demuestra algebraicamente que la sucesión está acotada inferiormente por $\frac{7}{3}$ y superiormente por $\frac{5}{2}$.

Se invierten $5\,000$ € en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\,\%$. Sin embargo, al final de cada año y tras aplicar los intereses, la entidad deduce $50$ € fijos en concepto de comisiones de gestión. Escribe la ley de recurrencia para el capital $C_n$ acumulado al final del año $n$ (siendo $C_0 = 5000$), y calcula el capital en los tres primeros años ($C_1, C_2, C_3$).