Ejercicios: Límite de una sucesión

Determina si la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ es convergente, divergente o oscilante. Si es convergente, indica cuál es su límite.

Calcula el límite de la siguiente sucesión polinómica cuando $n$ tiende a infinito:

$b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$

Halla el límite de la sucesión racional dada por la expresión:

$c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$

Calcula el límite de la siguiente sucesión, identificando previamente los grados del numerador y del denominador:

$d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$

Determina el valor hacia el que tiende la sucesión $e_n$ para valores muy grandes de $n$:

$e_n = \frac{n^4 + 2n^2 - 7}{5n^2 - 3n + 1}$

Estudia el comportamiento y calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial:

$f_n = 12 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$

Aplicando la definición del número $e$, calcula el límite de la siguiente sucesión:

$g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$

Calcula el límite de la sucesión que involucra una raíz cuadrada simple en el numerador:

$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$

La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una habitación sigue la sucesión $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, donde $n$ es el tiempo transcurrido en minutos. Calcula el límite de la sucesión $T_n$ cuando $n \to \infty$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.

Resuelve la indeterminación que se presenta al calcular el límite de la siguiente diferencia de sucesiones racionales:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n}{n + 2} - n \right)$

Calcula el límite de la siguiente sucesión irracional, multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada para resolver la indeterminación:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$

La población de peces de una piscifactoría sostenible crece de acuerdo con el modelo matemático $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, donde $n$ representa el número de días desde la introducción de los alevines. Determina la capacidad de carga del entorno, es decir, el límite de la población de peces a largo plazo.

Calcula el límite de la sucesión, transformando la expresión para aplicar el límite del número $e$:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$

Se depositan $5000$ euros en un fondo de inversión que ofrece un interés anual del $3,5\%$. Si la entidad capitaliza los intereses $n$ veces al año, el capital acumulado tras $10$ años viene dado por la sucesión $C_n = 5000 \cdot \left(1 + \frac{0,035}{n}\right)^{10n}$. Calcula el capital límite que se obtendría si la capitalización fuera continua ($n \to \infty$).

Halla el límite de la siguiente sucesión, desarrollando previamente los productos notables del numerador para identificar los términos de mayor grado:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(3n+2)^2 - (3n-2)^2}{n+5}$

A partir de un cuadrado de área $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, se construye una sucesión de cuadrados uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, tal y como muestra la figura. Sabiendo que el área de cada nuevo cuadrado es la mitad del área del cuadrado anterior, calcula el límite de la suma de las áreas de los infinitos cuadrados así construidos: $S_\infty = \lim_{n \to \infty} (A_1 + A_2 + \dots + A_n)$.

Encuentra los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que se cumpla la siguiente igualdad:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^2 + an + 2} - bn \right) = 4$

Dada la sucesión $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabemos que su límite es $L = 4$. Utilizando la definición formal de límite, averigua a partir de qué término $n$ se cumple que la distancia entre los términos de la sucesión y su límite es estrictamente menor que una milésima, es decir, $|a_n - 4| < 0,001$.

Resuelve el siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a las operaciones algebraicas en el exponente:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 - n + 3}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2 - 1}$

La figura muestra las tres primeras iteraciones en la construcción de la curva de Koch. Si partimos de un segmento inicial de longitud $L_0 = 1$ metro (panel A), en cada paso $n$ la longitud total de la curva se multiplica por $\frac{4}{3}$ respecto al paso anterior. Escribe la expresión de la longitud $L_n$ en el paso $n$ y calcula $\lim_{n \to \infty} L_n$. ¿Qué conclusión geométrica se extrae de este resultado?

Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una doble raíz cuadrada y requiere aplicar la técnica del conjugado de forma cuidadosa:

$\lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \sqrt{n^2 + 4} - n \right)$

Un paciente recibe una dosis diaria de un medicamento. Tras la absorción y eliminación a lo largo del día, la concentración del fármaco en sangre justo antes de la siguiente dosis sigue la relación de recurrencia $C_n = 15 + C_{n-1} \cdot 0,4$, donde $15 \text{ mg/L}$ es el aporte de la nueva dosis y el factor $0,4$ indica que queda un $40\%$ del fármaco del día anterior. Si la concentración inicial es $C_1 = 15$, calcula la concentración de equilibrio en la sangre a largo plazo, es decir, $\lim_{n \to \infty} C_n$.

Se define una sucesión mediante la siguiente ley de recurrencia: el primer término es $a_1 = \sqrt{6}$, y cada término siguiente se obtiene como $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$. Asumiendo que la sucesión es creciente y está acotada superiormente (por lo que es convergente y tiene un límite $L$), plantea la ecuación que debe cumplir el límite y hállalo.

Un cable elástico de alta tecnología se somete a pruebas de tensión iterativas. Su longitud inicial en reposo es de $20$ metros. En la primera prueba se estira $4$ metros. En cada prueba sucesiva, el material pierde elasticidad y se estira un $75\%$ de lo que se estiró en la prueba inmediatamente anterior. La longitud total tras $n$ pruebas viene dada por $L_n = 20 + \sum_{k=1}^n 4 \cdot (0,75)^{k-1}$. Calcula la longitud máxima teórica que alcanzará el cable si se somete a infinitas pruebas.