Ejercicios: Progresiones geométricas

Escribe los cinco primeros términos y halla la expresión del término general de una progresión geométrica sabiendo que su primer término es $a_1 = 3$ y su razón es $r = 2$.

Dada la sucesión definida por el término general $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcula el valor de los términos $a_3$ y $a_6$.

Determina si la siguiente sucesión es una progresión geométrica. En caso afirmativo, halla su razón y su término general: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{18}, \frac{1}{54}, \dots$

Calcula la suma de los $8$ primeros términos de una progresión geométrica en la que el primer término es $a_1 = 4$ y la razón es $r = 3$.

Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es $a_1 = 10$ y cuya razón es $r = \frac{1}{5}$.

En una progresión geométrica de términos positivos, se sabe que $a_2 = 6$ y $a_4 = 54$. Calcula el valor de la razón $r$ y del primer término $a_1$.

Calcula el producto de los seis primeros términos de una progresión geométrica que tiene como primer término $a_1 = 2$ y como razón $r = 2$.

Expresa el número decimal periódico puro $0,4444\dots$ como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y obtén su fracción generatriz.

Un equipo industrial cuesta $24\,000$ euros y se deprecia un $12\%$ cada año respecto al valor del año anterior. Escribe el término general de la sucesión que modeliza su valor y calcula cuánto valdrá al cabo de $6$ años.

En un cultivo de laboratorio, una población de bacterias se triplica cada $4$ horas. Si inicialmente se introducen $100$ bacterias en la placa, ¿cuántas bacterias habrá transcurridas $24$ horas? Expresa el resultado utilizando potencias.

Halla el valor del número real $x$ para que los términos $x-1$, $2x$, y $5x+4$ formen, en ese orden, una progresión geométrica.

Se deja caer una pelota elástica desde una altura inicial de $5$ metros. En cada bote, la pelota rebota alcanzando el $80\%$ de la altura del bote anterior. Plantea la sucesión de las alturas alcanzadas y calcula la distancia total recorrida por la pelota (sumando las bajadas y las subidas) hasta que se detiene teóricamente.

Se depositan $5000$ euros en una entidad financiera a un interés compuesto anual del $3,5\%$. Escribe la expresión general del capital acumulado al final del año $n$. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de $8$ años si no se retira nada?

En una progresión geométrica se conoce que $a_2 = 12$ y $a_5 = 324$. Calcula la razón de la progresión y la suma de los seis primeros términos.

La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es $18$ y su primer término es $6$. Determina la razón de la progresión y el valor del cuarto término.

Se tiene un cuadrado de lado $10$ cm. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma un segundo cuadrado. Uniendo los puntos medios de los lados de este segundo cuadrado se forma un tercer cuadrado, y así sucesivamente. Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados formados mediante este proceso.

La curva conocida como "Copo de nieve de Koch" se construye a partir de un triángulo equilátero de lado $L$. En cada paso, el tercio central de cada segmento se sustituye por dos segmentos de igual longitud que forman una punta hacia el exterior. Sea $P_n$ el perímetro de la figura en el paso $n$ (donde $P_0 = 3L$). Demuestra que $P_n$ es una progresión geométrica, halla su término general y calcula el límite del perímetro cuando $n \to \infty$.

En una progresión geométrica de términos positivos, la suma de los dos primeros términos es $15$ y la suma del tercer y cuarto término es $60$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente para determinar el primer término y la razón de la progresión.

Según la leyenda del inventor del ajedrez, el rey le ofreció un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente duplicando la cantidad en cada casilla hasta llegar a la número $64$. Expresa la cantidad total de granos de trigo en el tablero usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica. Si un gramo de trigo contiene unos $20$ granos y una tonelada son $10^6$ gramos, estima el orden de magnitud de las toneladas totales de trigo.

Aquiles y la tortuga disputan una carrera. Aquiles corre a $10$ m/s y la tortuga a $1$ m/s. La tortuga parte con una ventaja de $100$ metros. Cuando Aquiles recorre esos $100$ metros, la tortuga ha avanzado $10$ metros. Cuando Aquiles recorre esos $10$ metros, la tortuga avanza $1$ metro, y así sucesivamente. Plantea la distancia total que recorre Aquiles como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y demuestra que el resultado es finito.

Demuestra que el producto de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica viene dado por la fórmula $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$. Utiliza este resultado para calcular el producto de los primeros $10$ términos de una progresión geométrica en la que $a_3 = 4$ y $a_8 = 128$.

Los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo están en progresión geométrica de razón $2$. Calcula la medida de cada uno de los cuatro ángulos. ¿Sería posible construir un pentágono convexo cuyos ángulos interiores formen una progresión geométrica de razón $2$? Justifica tu respuesta.

En un cuadrado de lado $L = 20$ cm se inscribe un círculo. Dentro de este círculo se inscribe un nuevo cuadrado, en el cual se inscribe otro círculo, y el proceso se repite indefinidamente. Halla la expresión del área del enésimo círculo y calcula la suma de las áreas de los infinitos círculos formados.

Sea $a_n$ una progresión geométrica de términos estrictamente positivos con primer término $a_1$ y razón $r$. Demuestra que la sucesión definida por $b_n = \log(a_n)$ es una progresión aritmética. Si $a_1 = 10$ y $r = 100$, calcula la suma de los $20$ primeros términos de la progresión $b_n$.