Ejercicios: Sucesiones exponenciales. El número e.

Calcula el límite de la siguiente sucesión exponencial:

$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$

Determina el valor al que tiende la sucesión $b_n$ cuando $n \to \infty$:

$b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$

Halla el límite de la sucesión formada por el cociente de polinomios elevado a $n$:

$c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$

Indica cuál es el límite de la siguiente sucesión geométrica:

$d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$

Calcula el límite de la sucesión con término general:

$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

Determina el límite de la siguiente sucesión, sabiendo que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$:

$f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$

Halla el límite de la sucesión exponencial cuyo exponente es $n+5$:

$g_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5}$

Calcula el límite de la sucesión:

$h_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n$

Calcula el límite de la siguiente sucesión, resolviendo la indeterminación correspondiente:

$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$

Se depositan $5000$ euros en una entidad financiera a un interés anual del $4\%$. La fórmula del capital final tras $n$ años con capitalización continua viene dada por la sucesión $C_n = 5000 \cdot e^{0,04n}$. Calcula el capital acumulado tras $10$ años y compáralo con el capital obtenido si la capitalización fuera anual, cuya expresión es $C'_n = 5000 \cdot (1,04)^n$.

Determina el límite de la siguiente sucesión resolviendo la indeterminación del tipo $1^\infty$:

$b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$

La cantidad de un isótopo radiactivo en una muestra disminuye de forma exponencial según la sucesión $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, donde $n$ es el número de años transcurridos y $M_n$ se mide en gramos. ¿Cuántos gramos quedarán en la muestra tras $20$ años? ¿A qué valor tiende la masa a largo plazo (cuando $n \to \infty$)?

Halla el límite de la sucesión combinando polinomios de segundo grado en la base:

$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$

Un vehículo pierde un $15\%$ de su valor cada año debido a la depreciación. Si su precio inicial en el concesionario es de $24000$ euros, el valor tras $n$ años viene dado por la sucesión $V_n = 24000 \cdot (0,85)^n$. ¿Cuál será su valor tras $5$ años? ¿Qué ocurre con su valor a medida que el número de años tiende a infinito?

Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta un exponente algebraico en forma de fracción:

$d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$

En un experimento de termodinámica, la diferencia de temperatura entre un cuerpo metálico y su entorno disminuye exponencialmente siguiendo la sucesión $T_n = 80 \cdot e^{-0,05n}$, siendo $n$ los minutos transcurridos desde el inicio del enfriamiento. Calcula la diferencia de temperatura a los $30$ minutos y determina el límite de la sucesión cuando $n \to \infty$.

Halla el valor del parámetro real $a$ para que se cumpla la siguiente igualdad con el número $e$:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$

Calcula el límite de la sucesión exponencial formada por polinomios de segundo grado tanto en la base como en el exponente:

$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$

Un paciente recibe una dosis de $50$ mg de un medicamento cada $24$ horas. Sabiendo que el cuerpo elimina el $40\%$ del medicamento presente en ese intervalo de tiempo, la cantidad acumulada en el cuerpo justo después de la dosis $n$-ésima sigue la sucesión geométrica $C_n = 50 + 50 \cdot 0,6 + 50 \cdot 0,6^2 + \dots + 50 \cdot 0,6^{n-1}$. Calcula la cantidad acumulada a largo plazo (el límite de la sucesión cuando $n \to \infty$).

Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente sucesión tenga como límite $e^{-4}$, sabiendo que $a$ es un número real positivo:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{an+3}{2n+1} \right)^{bn} = e^{-4}$

Halla el límite de la sucesión que combina raíces cuadradas en su base y un exponente lineal:

$c_n = \left( \sqrt{\frac{n+2}{n-1}} \right)^{3n+1}$

La concentración de un contaminante en un lago se reduce de forma natural mediante un proceso que sigue la sucesión $C_n = C_0 \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^n$, donde $n$ representa la cantidad de etapas de filtrado aplicadas. Si se aplican infinitas etapas de filtrado, demuestra matemáticamente a qué fracción exacta de la concentración inicial $C_0$ se reducirá el contaminante.

Calcula el límite de la sucesión resolviendo la indeterminación generada por el cociente algebraico en el exponente:

$d_n = \left( \frac{n^2+5n-2}{n^2+3n+1} \right)^{\frac{n^3}{n^2+1}}$

Se invierten $10000$ euros a un tipo de interés nominal anual del $5\%$. La sucesión que describe el capital final si los intereses se capitalizan $n$ veces al año es $C_n = 10000 \left( 1 + \frac{0,05}{n} \right)^n$. Calcula el límite de esta sucesión cuando $n \to \infty$ para hallar el capital final bajo capitalización continua. Compara este resultado con el capital obtenido si se capitaliza trimestralmente ($n=4$).