Ejercicios: Sucesión decreciente

Dadas las siguientes sucesiones definidas por su término general, identifica cuáles son estrictamente decrecientes calculando empíricamente sus cuatro primeros términos: $a_n = 5 - 2n$, $b_n = n^2 - 4$, $c_n = \frac{1}{2^n}$, $d_n = (-1)^n \cdot n$.

Demuestra, analizando el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión polinómica de término general $a_n = -4n + 7$ es estrictamente decreciente para todo número natural $n$.

Comprueba si la sucesión racional $b_n = \frac{3}{n+2}$ es decreciente. Para ello, plantea la expresión $b_{n+1} - b_n$ y determina si el resultado es menor o igual a cero para cualquier $n \ge 1$.

Utiliza el criterio del cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para demostrar que la sucesión geométrica de términos positivos $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ es estrictamente decreciente.

Una sucesión viene dada en forma recurrente por el primer término $a_1 = 15$ y la ley de formación $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Justifica matemáticamente por qué esta sucesión es estrictamente decreciente para todo $n \ge 1$.

Calcula los cinco primeros términos de la sucesión cuadrática $c_n = -n^2 + 6n$. ¿Es una sucesión decreciente desde el primer término? Determina a partir de qué valor de $n$ la sucesión comienza a ser estrictamente decreciente.

Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un contraejemplo numérico: "Toda sucesión cuyos términos son todos negativos es obligatoriamente una sucesión decreciente".

Un alpinista desciende por una montaña a un ritmo constante. Su altitud en metros al final de cada hora $n$ de trayecto viene modelizada por la sucesión $h_n = 3500 - 150n$. Demuestra analíticamente que la sucesión de altitudes $(h_n)$ es estrictamente decreciente.

Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ es estrictamente decreciente. Para ello, plantea la desigualdad $a_{n+1} < a_n$, opera algebraicamente y llega a una afirmación que sea cierta para todo $n \ge 1$.

Una máquina industrial pierde cada año un $12\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Si su valor inicial de compra es de $45000$ euros, encuentra la expresión del término general $V_n$ que indica su valor tras $n$ años y demuestra matemáticamente que la sucesión $(V_n)$ es decreciente.

Considera la sucesión que combina una potencia y un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula sus primeros seis términos y observa su comportamiento. Utilizando el criterio del cociente, determina analíticamente a partir de qué valor exacto de $n$ la sucesión se vuelve estrictamente decreciente.

Demuestra que la sucesión construida mediante radicales $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ es estrictamente decreciente. Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar si $c_{n+1} < c_n$.

Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de $5$ metros. En cada rebote sucesivo, la pelota alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura máxima del rebote anterior. Sea $h_n$ la altura máxima alcanzada tras el $n$-ésimo impacto con el suelo. Escribe el término general de la sucesión y demuestra que es estrictamente decreciente.

Dada la sucesión polinómica $a_n = -kn^2 + 8n - 3$, determina el conjunto de valores que debe tomar el parámetro real $k$ para garantizar que la sucesión sea estrictamente decreciente para todo $n \ge 1$.

La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una sala a temperatura ambiente viene dada por la sucesión $T_n = 20 + 80 \cdot (0,85)^n$, donde $n$ representa el tiempo transcurrido en minutos. Demuestra que $(T_n)$ es una sucesión decreciente y calcula algebraicamente la expresión del descenso de temperatura exacto que ocurre entre el minuto $n$ y el minuto $n+1$.

Estudia la monotonía de la sucesión $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. ¿Es una sucesión decreciente? Define una nueva sucesión $e_n = |d_n|$ tomando el valor absoluto de cada término y demuestra paso a paso que $(e_n)$ sí es una sucesión estrictamente decreciente.

Encuentra la condición matemática rigurosa que debe cumplir el parámetro real $p$ para que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ sea estrictamente decreciente en todo su dominio natural $n \ge 1$.

Sean $(u_n)$ y $(v_n)$ dos sucesiones de números reales estrictamente positivos. Si se sabe que $(u_n)$ es estrictamente decreciente y $(v_n)$ también es estrictamente decreciente, demuestra algebraicamente que la sucesión producto definida por $w_n = u_n \cdot v_n$ es, a su vez, estrictamente decreciente.

Considera la sucesión de sumas parciales $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Sea $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la sucesión que mide la distancia entre $S_n$ y el límite teórico de la serie infinita. Demuestra que $(E_n)$ es una sucesión estrictamente decreciente y exprésala de forma cerrada en función de $n$.

En un reactor químico, la concentración $C_n$ de un isótopo radiactivo tras $n$ horas viene dada por la relación de recurrencia $C_1 = 100$ y $C_{n+1} = 0,5 \cdot C_n + 10$. Demuestra mediante el principio de inducción matemática que $C_{n+1} < C_n$ para todo $n \ge 1$, concluyendo que la secuencia de concentraciones es estrictamente decreciente.

El método babilónico para aproximar el valor de $\sqrt{3}$ genera una sucesión definida por $x_1 = 2$ y la recurrencia $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{3}{x_n} \right)$. Sabiendo que todos los términos de la sucesión cumplen que $x_n > \sqrt{3}$, demuestra analíticamente que $x_{n+1} < x_n$ para todo $n \ge 1$, probando así que la sucesión de aproximaciones es estrictamente decreciente.

Estudia el crecimiento o decrecimiento de la sucesión logarítmica $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. A continuación, demuestra que la sucesión de las sumas parciales $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ es estrictamente decreciente y encuentra una expresión algebraica simplificada para $S_n$ aplicando las propiedades de los logaritmos.

Considera la sucesión definida por $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demuestra que está acotada inferiormente por $1$ y que es estrictamente decreciente. Finalmente, determina a partir de qué valor de $n$ la diferencia entre dos términos consecutivos es menor en valor absoluto que $10^{-4}$.

Sea la sucesión definida por $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sabiendo que se cumple la desigualdad $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ para cualquier número natural $n$, demuestra mediante el criterio del cociente que $(a_n)$ es una sucesión estrictamente decreciente.