Ejercicios: Sucesión creciente

Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión $a_n = 3n - 5$ y comprueba, calculando la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que se trata de una sucesión estrictamente creciente.

Dada la sucesión de término general $b_n = \frac{n}{2} + 4$, demuestra que es creciente verificando que $b_{n+1} \geq b_n$ para cualquier número natural $n$.

Un estudiante decide ahorrar dinero para un viaje. El primer mes guarda $10$ euros, y cada mes sucesivo guarda $5$ euros más que el mes anterior. Escribe el término general del dinero guardado en el mes $n$ y justifica matemáticamente por qué esta sucesión es estrictamente creciente.

Determina si la sucesión $c_n = n^2 + 2n$ es creciente. Para ello, calcula algebraicamente la diferencia entre el término $n+1$ y el término $n$, y analiza el signo del resultado.

Comprueba que la sucesión definida por recurrencia como $a_1 = 3$ y $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$.

Dada la sucesión geométrica $d_n = 3^n$, utiliza el método del cociente (es decir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) para demostrar que es una sucesión estrictamente creciente.

Un árbol recién plantado mide $150$ cm. Cada año, su altura aumenta en un $5$ % respecto a la altura del año anterior. Expresa su altura $h_n$ al cabo de $n$ años y justifica mediante el criterio del cociente que la sucesión de sus alturas es creciente.

Identifica cuál de las siguientes sucesiones es estrictamente creciente calculando sus tres primeros términos y analizando su evolución: $x_n = -2n + 10$, $y_n = \frac{1}{n}$, $z_n = \frac{n+1}{n+2}$.

Demuestra de forma algebraica que la sucesión de término general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ es estrictamente creciente. Para ello, desarrolla la inecuación $a_{n+1} - a_n > 0$ y justifica el signo del numerador y del denominador resultantes.

En un experimento de cinemática, la velocidad de un móvil en el instante $n$ (en segundos) viene dada por la sucesión $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ en m/s. Demuestra analíticamente que el móvil está acelerando continuamente (la sucesión de velocidades es estrictamente creciente) y observa la gráfica para determinar si superará en algún momento los $10$ m/s.

Halla los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la sucesión definida por $a_n = (k-3)n + 5$ es estrictamente creciente. Razona tu respuesta a partir de la diferencia $a_{n+1} - a_n$.

La población de una colonia de bacterias en un cultivo controlado se modeliza mediante la sucesión $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, donde $n \geq 1$ representa los días transcurridos. Utiliza el criterio del cociente $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ para demostrar rigurosamente que la población está en constante crecimiento.

Demuestra que la sucesión $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$. ¿Existe algún valor de $n$ para el cual se cumpla que $b_n \geq 1$? Justifica tu respuesta.

Una empresa de tecnología prevé que sus beneficios mensuales (en miles de euros) sigan la sucesión $B_n = 50 - \frac{100}{2^n}$. Prueba matemáticamente que los beneficios aumentan de un mes al siguiente.

Considera la sucesión con radicales $c_n = \sqrt{n+5}$. Demuestra que es estrictamente creciente. Para evitar trabajar directamente con desigualdades de raíces, multiplica y divide la expresión $c_{n+1} - c_n$ por su conjugado.

Encuentra el rango de valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que la sucesión geométrica $a_n = (2x - 1)^n$ es estrictamente creciente y de términos exclusivamente positivos.

Demuestra que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (asumiendo que $r > 0$ y $rn+s > 0$ para todo $n \geq 1$) es estrictamente creciente si y solo si se cumple la condición $ps - qr > 0$.

Analiza el crecimiento de la sucesión $a_n = \frac{n^2+k}{n}$, donde $k$ es un número real. Demuestra que la sucesión es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$ si y solo si el parámetro $k$ cumple la condición $k < 2$.

En un proceso de calentamiento industrial, la temperatura de una aleación metálica en el minuto $n$ sigue la ley $T_n = 120 - 90(0,75)^n$ en grados Celsius. Demuestra matemáticamente que la temperatura es estrictamente creciente. A partir de la gráfica, deduce si la sucesión está acotada superiormente.

Dada la sucesión definida como la suma parcial $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Justifica de forma analítica por qué esta sucesión es estrictamente creciente y deduce si la diferencia entre términos consecutivos aumenta o disminuye a medida que $n$ se hace muy grande.

Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ es estrictamente creciente. Pista: Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar la diferencia $a_{n+1} - a_n$.

Estudia la monotonía de la sucesión $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demuestra que no es estrictamente creciente para todo $n$, indicando a partir de qué término específico comienza a decrecer de forma estricta.

Una red de servidores registra el tiempo medio de latencia (en milisegundos) mediante la sucesión recurrente $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sabiendo que todos los términos generados son positivos y estrictamente menores que $3$, demuestra analizando el signo de $u_{n+1}^2 - u_n^2$ que la sucesión es estrictamente creciente.

Sea la sucesión $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Sabiendo que esta sucesión modeliza el crecimiento del capital bajo un interés compuesto continuo, calcula sus tres primeros términos para comprobar empíricamente que crece. A continuación, plantea el inicio de su demostración general desarrollando el binomio de Newton para $a_n$ y $a_{n+1}$.