Ejercicios: El método de Gauss

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada, utilizando el método de sustitución hacia atrás:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 4 \\ 3y + z & = & 5 \\ 2z & = & 4 \end{array} \right.$

Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ x - y + 2z & = & 5 \\ x + y - z & = & 0 \end{array} \right.$

Sin necesidad de resolverlo completamente, clasifica el siguiente sistema escalonado (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y justifica tu respuesta:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - 3y + 2z & = & 1 \\ 2y - z & = & 4 \\ 0z & = & 7 \end{array} \right.$

Escribe la solución del siguiente sistema escalonado en función de un parámetro $\lambda$:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ y - 2z & = & 2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right.$

Halla el valor del coeficiente $a$ sabiendo que la terna $(1, -1, 2)$ es solución del siguiente sistema:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ 2x - y - z & = & 1 \\ x + ay + 2z & = & 8 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss, eliminando primero la variable $x$ de la segunda y tercera ecuación:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 7 \\ 2x - y + 3z & = & 11 \\ -x + y - z & = & -4 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema en el que faltan algunas incógnitas en las ecuaciones, ordenándolas adecuadamente si lo consideras necesario:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ y + z & = & 5 \\ x + z & = & 4 \end{array} \right.$

Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo por Gauss: "Ana tiene el triple de dinero que Berta. Berta tiene el doble de dinero que Carlos. Entre los tres juntan $27$ euros. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?"

En una tienda de material deportivo se venden tres tipos de balones: de fútbol, de baloncesto y de voleibol. Un colegio compra $2$ balones de fútbol, $1$ de baloncesto y $1$ de voleibol por $80$ euros. Otro colegio compra $1$ de fútbol, $2$ de baloncesto y $1$ de voleibol por $85$ euros. Un tercer colegio compra $1$ de fútbol, $1$ de baloncesto y $2$ de voleibol por $75$ euros. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss para calcular el precio de cada tipo de balón.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente con las fracciones para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z & = & 1 \\ x - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} & = & 2 \\ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} & = & 3 \end{array} \right.$

Halla los coeficientes $a$, $b$ y $c$ del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $A(-1, 4)$, $B(1, 2)$ y $C(2, 7)$.

En un laboratorio de química se dispone de tres soluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $50\%$. Se desea obtener una mezcla de $100$ litros con una concentración del $30\%$. Sabiendo que el volumen utilizado de la solución al $10\%$ debe ser igual al volumen de la solución al $50\%$, plantea y resuelve un sistema mediante el método de Gauss para determinar cuántos litros de cada solución se deben mezclar.

La suma de las edades de un abuelo, su hijo y su nieto es de $120$ años. El abuelo tiene el triple de la edad del nieto. Además, se sabe que dentro de $10$ años, la edad del padre será el doble de la edad que tendrá el nieto en ese momento. Plantea un sistema de ecuaciones y halla las edades actuales de los tres.

Resuelve el siguiente sistema que contiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Indica si hay alguna ecuación redundante o si el sistema es incompatible:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 2 \\ 2x + y - z & = & 1 \\ x + 2y - 2z & = & -1 \\ 3x + y + z & = & 5 \end{array} \right.$

Una empresa invierte un total de $20000$ euros en tres fondos de inversión diferentes, que ofrecen rentabilidades anuales del $4\%$, $5\%$ y $6\%$. Al cabo de un año, los intereses totales generados ascienden a $980$ euros. Si el dinero invertido en el fondo al $5\%$ es el doble del invertido en el fondo al $6\%$, calcula qué cantidad se destinó a cada fondo utilizando el método de Gauss.

En un partido de baloncesto, un equipo ha anotado un total de $80$ puntos mediante $42$ canastas (algunas de $1$ punto, otras de $2$ puntos y otras de $3$ puntos). Sabiendo que el número de canastas de $2$ puntos es igual a la suma de las canastas de $1$ y $3$ puntos más $5$, halla el número de canastas de cada tipo.

Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$ y resuélvelo para el caso en el que sea compatible indeterminado:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ x - 2y + 2z & = & k \end{array} \right.$

Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales realizando previamente un cambio de variable adecuado ($u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} & = & 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{3}{z} & = & 9 \\ \frac{3}{x} + \frac{3}{y} - \frac{2}{z} & = & 3 \end{array} \right.$

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Resuelve el sistema formado por los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$, interpreta el resultado obtenido e indica qué figura geométrica forman en su intersección.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ 3x + 2z & = & 5 \end{array} \right.$

Estudia y discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro $m$. Resuélvelo para $m = 2$.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + my + z & = & 2 \\ x + y + mz & = & 3 \end{array} \right.$

La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número obtenido es $198$ unidades mayor que el número original. Además, se sabe que la cifra de las decenas es la media aritmética de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades. Plantea un sistema de ecuaciones y halla el número original.

Tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, trabajan en la producción de una fábrica. Si trabajan juntas $A$ y $B$, terminan un lote en $12$ horas. Si trabajan $B$ y $C$, lo terminan en $20$ horas. Si trabajan $A$ y $C$, lo terminan en $15$ horas. Plantea un sistema de ecuaciones lineales (pista: usa como incógnitas la fracción de trabajo que hace cada máquina en una hora) y calcula cuánto tardaría cada máquina en hacer el lote trabajando sola.

Discute el siguiente sistema y encuentra el valor o valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado. Escribe la solución general para ese caso.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 10 \\ 2x - y + 3z & = & 20 \\ 5x - y + 5z & = & a \end{array} \right.$

Demuestra, utilizando el método de Gauss, que el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y + z & = & b \\ 2x + 2z & = & c \end{array} \right.$

solo es compatible si se cumple la relación $a + b = c$. Explica el significado algebraico de esta condición.