Ejercicios: Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad

Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.

Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.

Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.

Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.

Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.

Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.

Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí:

• $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$

• $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$

• $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$

Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.

En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por el punto de intersección de las calles secundarias $x + y - 2 = 0$ y $2x - y - 4 = 0$. Obtén la ecuación general de la nueva avenida.

Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.

Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre el rayo y la normal al espejo) y determina la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado.

Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o valores) de $k$ para que sus rutas se crucen formando un ángulo exacto de $60^\circ$.

Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta altura con el lado $AB$.

En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una segunda viga perpendicular a la primera exactamente en su punto medio. Halla la ecuación explícita de la recta que define esta segunda viga.

Encuentra las coordenadas de la proyección ortogonal del origen de coordenadas $(0,0)$ sobre la recta de ecuación $2x - 5y + 10 = 0$.

Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$.

1. Determina $a$ para que los raíles sean paralelos.

2. Halla la ecuación de un tercer raíl transversal que sea perpendicular a ambos y que cruce al raíl $r$ exactamente en su punto de corte con el eje de ordenadas.

Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus vectores directores o sus pendientes, que ambas bisectrices son perpendiculares entre sí.

Las diagonales de un rombo están contenidas en las rectas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 3 = 0$. Sabiendo que uno de sus vértices es $A(0, 2)$ y que la longitud de su lado es $\sqrt{20}$, halla las coordenadas de los otros tres vértices.

Un vértice de un triángulo equilátero es el origen de coordenadas $(0,0)$ y el lado opuesto está contenido en la recta $x + y - 4 = 0$. Determina las ecuaciones generales de las rectas que contienen a los otros dos lados del triángulo sabiendo que deben formar un ángulo de $60^\circ$ con el lado dado.

Dada la familia de rectas dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$: $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Demuestra que todas las rectas de esta familia pasan por un mismo punto fijo y calcula sus coordenadas. Después, halla el valor de $k$ para obtener la recta de la familia que es perpendicular a $3x - y + 2 = 0$.

Un panel solar está alineado con la recta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Los rayos del sol inciden de forma paralela a la recta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcula el ángulo de incidencia de los rayos sobre el panel. Si se debe reorientar el panel pivotando sobre su punto de corte con el eje $OY$ para que los rayos incidan totalmente perpendiculares a su superficie, ¿cuál será la nueva ecuación general de la recta que define el panel?

Dos vértices opuestos de un cuadrado son $A(-1, 3)$ y $C(5, 1)$. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los cuatro lados del cuadrado, calculando primero su centro y las direcciones de sus diagonales.

Determina la ecuación general de la recta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ con respecto a la recta $s: x + y - 1 = 0$.

Demuestra que si dos rectas $r: ax + by + c = 0$ y $s: a'x + b'y + c' = 0$ se cortan formando un ángulo $\alpha$, se cumple que $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utiliza este resultado para encontrar las ecuaciones generales de las rectas que pasan por $P(1,1)$ y forman un ángulo $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ con la recta $2x - y + 3 = 0$.