Ejercicios: Conjuntos numéricos

Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos numéricos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ pertenecen (ten en cuenta que un número puede pertenecer a varios conjuntos a la vez):

$-5$, $3,14$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$, $0,\widehat{3}$, $\frac{4}{2}$.

Obtén la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales:

1. a) $2,45$
2. b) $1,\widehat{6}$
3. c) $0,1\widehat{25}$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando brevemente tu respuesta:

1. a) Todo número entero es un número racional.
2. b) El número $0$ es un número irracional.
3. c) Todos los números decimales se pueden expresar como fracción.

Escribe en forma de intervalo y representa gráficamente en la recta real el siguiente conjunto de números:

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$

Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes utilizar su expresión decimal aproximada:

$3,14$, $\pi$, $\sqrt{10}$, $3,1\widehat{4}$, $\frac{22}{7}$

Encuentra un número racional y un número irracional que estén comprendidos estrictamente entre $1,5$ y $1,6$.

Dados los intervalos $A = [-3, 4)$ y $B = (0, 7]$, determina en forma de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$

Determina exactamente qué números enteros pertenecen al intervalo $(-2,5; 3]$. Expresa el resultado utilizando notación de conjuntos con llaves.

En una clase de Física se miden o utilizan diferentes magnitudes para un experimento: la masa de una partícula $m = 2,5 \cdot 10^{-3}$ kg, el período de un péndulo $T = 2\pi$ s, el número de oscilaciones $n = 15$, la variación de temperatura $\Delta \theta = -4^\circ$C y la energía $E = \sqrt{2}$ J. Clasifica los valores numéricos exactos de estas medidas según el conjunto numérico más restrictivo (el más pequeño) al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$).

Una empresa divide un beneficio de $1000$ euros entre $3$ socios a partes iguales. El programa informático de contabilidad trunca el resultado y transfiere $333,33$ euros a cada cuenta.

1. a) Expresa la cantidad exacta que corresponde a cada socio utilizando fracciones.
2. b) Calcula el error absoluto total que comete la empresa al usar la aproximación decimal para los tres socios en lugar del valor exacto.

Observa el diagrama de Venn que representa los conjuntos numéricos. Sitúa los siguientes números en la región más restrictiva que les corresponda:

$a = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$, $b = -2,1\widehat{5}$, $c = \frac{\pi}{2}$, $d = \sqrt[3]{-8}$, $e = 1,010010001\dots$

En el diseño de un microchip, la tolerancia admisible para el grosor de una pista de silicio está dada por el conjunto $T = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1,25| \le 0,05\}$ en micrómetros.

1. a) Expresa este conjunto como un intervalo.
2. b) Determina si los grosores $x_1 = 1,30$ y $x_2 = 1,25 + \frac{\sqrt{2}}{100}$ cumplen con la tolerancia exigida.

Una reacción química es viable si la temperatura $T$ (en $^\circ$C) pertenece al intervalo $A = [-10, 45)$ y, simultáneamente, la presión obliga a que un parámetro de control de temperatura $k = \frac{T}{10}$ pertenezca al intervalo $B = (0, 5]$. Calcula el intervalo exacto de temperaturas $T$ para el cual la reacción es viable cumpliendo ambas condiciones a la vez.

Un arquitecto calcula la longitud de un muro sumando dos tramos cuyas medidas teóricas son $L_1 = 2,\widehat{3}$ m y $L_2 = 1,1\widehat{6}$ m.

1. a) Calcula la longitud total exacta del muro operando con las fracciones generatrices de ambos números.
2. b) Expresa el resultado final como un número decimal.

Sin utilizar calculadora, determina si el resultado de las siguientes operaciones es un número racional o irracional, desarrollando las expresiones algebraicas:

1. a) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{12}$
3. c) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

La propiedad de densidad de los números racionales establece que entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional. Demuestra esta propiedad encontrando tres números racionales distintos comprendidos estrictamente entre $\frac{4}{7}$ y $\frac{5}{7}$.

Demuestra, utilizando el método de reducción al absurdo, que $\sqrt{3}$ es un número irracional. (Supón que $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros primos entre sí, y llega a una contradicción).

Dados los conjuntos definidos en la recta real $A = (-\infty, 3k-1]$ y $B = [k+5, \infty)$, determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para el cual la intersección $A \cap B$ está formada por un único número real. Clasifica dicho número en los conjuntos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$.

En la figura se muestra la construcción geométrica de un número sobre la recta real utilizando un triángulo rectángulo y un arco de circunferencia.

1. a) Identifica qué número real exacto representa el punto $P$ sobre el eje horizontal.
2. b) Clasifica dicho número en los conjuntos numéricos.
3. c) Demuestra analíticamente su valor aplicando el teorema de Pitágoras.

El número áureo se define como $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

1. a) Demuestra algebraicamente que $\phi$ cumple la ecuación $\phi^2 - \phi - 1 = 0$.
2. b) A partir de este resultado, deduce si el número $\frac{1}{\phi}$ es racional o irracional y exprésalo como un binomio en función de $\phi$.

Considera el número real $x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{3}$.

Simplifica la expresión al máximo (pista: intenta expresar el radicando $7 - 4\sqrt{3}$ como un binomio al cuadrado perfecto) y determina a qué conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$) pertenece el valor exacto de $x$.

Dados los conjuntos de números reales $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 \le 0\}$ y $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 1\}$, halla los conjuntos resultantes de las operaciones $A \cup B$ y $A \cap B$. Expresa los resultados finales en forma de intervalo.

Un analista deportivo modela el rendimiento óptimo de un atleta mediante la intersección de tres intervalos de tiempo de reacción (en segundos) obtenidos de diferentes estudios biomecánicos:

$I_1 = [0,15; 0,25]$

$I_2 = (0,18; 0,30)$

$I_3 = [0,20; \infty)$

1. a) Calcula el intervalo resultante de la intersección $I_1 \cap I_2 \cap I_3$.
2. b) Si el tiempo de reacción ideal absoluto debe ser un número irracional contenido estrictamente dentro de esa intersección, propón un valor exacto (usando raíces) que cumpla la condición.

Sabiendo que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números racionales e irracionales, construye un número irracional $x$ que cumpla simultáneamente las siguientes dos condiciones:

1. a) $0,01 < x < 0,02$
2. b) En su desarrollo decimal infinito solo aparecen los dígitos $0$ y $1$.

Escribe al menos los primeros 12 decimales de tu número para dejar clara la regla de formación que garantiza su irracionalidad.