Ejercicios: Definiciones

Se lanza un dado dodecaédrico (12 caras) perfectamente equilibrado, con sus caras numeradas del 1 al 12. Se anota el resultado de la cara superior. Define por extensión el espacio muestral $E$ y los siguientes sucesos:

• $A$: "Obtener un número múltiplo de 3".

• $B$: "Obtener un número primo".

• $C$: "Obtener un número mayor que 10".

De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Utilizando la regla de Laplace, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos elementales y compuestos:

• $A$: "Extraer un caballo".

• $B$: "Extraer una carta de copas".

• $C$: "Extraer una figura de oros" (las figuras son sota, caballo y rey).

En un experimento aleatorio, el espacio muestral es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Dados los sucesos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, determina por extensión los siguientes sucesos resultantes de operar con ellos:

• $A \cup B$

• $A \cap B$

• $A - B$

• $\overline{A} \cap B$

En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0,05$, la probabilidad de que tenga un defecto en el encapsulado es $0,03$, y la probabilidad de que presente ambos defectos simultáneamente es $0,01$. Calcula la probabilidad de que un chip elegido al azar presente al menos uno de los dos defectos.

Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la probabilidad de:

• Obtener una bola azul.

• No obtener una bola roja.

• Obtener una bola que sea roja o verde.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Justifica matemáticamente si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles basándote en los axiomas de la probabilidad.

En un centro meteorológico se define el suceso $L$: "Que llueva mañana" y el suceso $V$: "Que haga viento mañana". Expresa en lenguaje ordinario el significado de los siguientes sucesos algebraicos:

• $\overline{L} \cap \overline{V}$

• $L \cup V$

• $V - L$

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos sucesos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su probabilidad, expresa en notación de conjuntos la región sombreada en color verde y calcula su probabilidad si $P(A) = 0,55$, $P(B) = 0,40$ y $P(A \cap B) = 0,15$.

En un instituto, el $60\%$ de los alumnos de 1º de Bachillerato cursa la asignatura de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos. Si se elige un alumno al azar, determina las siguientes probabilidades utilizando las propiedades axiomáticas y las Leyes de De Morgan:

• Que curse ambas asignaturas.

• Que curse Física pero no Dibujo Técnico.

• Que curse exactamente una de las dos asignaturas.

Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Apoyándote en el espacio muestral bidimensional, calcula la probabilidad de que:

• La suma de las puntuaciones sea exactamente 8.

• El valor absoluto de la diferencia entre las puntuaciones sea 2.

En un estudio clínico sobre una nueva cepa viral, se observa a un grupo de pacientes. Se definen los sucesos $F$: "El paciente presenta fiebre" y $T$: "El paciente presenta tos". Expresa en notación conjuntista (intersecciones, uniones, complementarios) los siguientes sucesos descritos en lenguaje natural:

• El paciente presenta al menos uno de los dos síntomas.

• El paciente presenta fiebre pero no tos.

• El paciente no presenta ninguno de los dos síntomas.

• El paciente presenta exactamente un síntoma.

En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (suceso $U$) es $0,45$. La probabilidad de que tenga un error en la base de datos (suceso $D$) es $0,30$. Si la probabilidad de que tenga un error en la interfaz pero no en la base de datos es $0,25$, calcula la probabilidad de que el programa no tenga ningún error.

Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada repetidamente hasta que salga la primera "Cara" ($C$), con un límite máximo de 3 lanzamientos (si en el tercer lanzamiento sale "Cruz" ($X$), el juego termina de todos modos).

• Escribe el espacio muestral $E$ de este experimento.

• Asigna la probabilidad correspondiente a cada suceso elemental justificando tu respuesta.

Un analista financiero evalúa dos fondos de inversión, $A$ y $B$. Determina que la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable es el doble de la probabilidad de que lo sea el fondo $B$. Además, sabe que la probabilidad de que al menos uno sea rentable es $0,85$ y la probabilidad de que ambos lo sean es $0,20$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable.

En una urna hay $n$ bolas blancas y 6 bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola blanca es $\frac{3}{5}$, plantea una ecuación para averiguar el valor de $n$ y determina el número total de bolas en la urna.

En un sistema de ciberseguridad, un usuario debe crear un PIN numérico de 4 dígitos (del 0 al 9). Si el sistema genera un PIN aleatorio, calcula la probabilidad de que el PIN contenga exactamente dos dígitos iguales (por ejemplo, 1213 o 9904, pero no 2225 ni 1122). Utiliza la regla de Laplace y técnicas de combinatoria.

En un control de calidad se aplican dos pruebas independientes a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0,85$ y la probabilidad de pasar la prueba $B$ es $P(B) = 0,75$. Sin conocer la probabilidad de la intersección, determina algebraicamente el valor máximo y el valor mínimo que puede tomar la probabilidad de que un producto pase ambas pruebas, $P(A \cap B)$.

En el diseño de un circuito lógico, la activación de un relé depende de los sucesos $A$ y $B$ según la expresión booleana que define el suceso $K$: $K = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})$.

Simplifica analíticamente la expresión del suceso $K$ utilizando las propiedades del álgebra de sucesos. Posteriormente, calcula $P(K)$ sabiendo que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,8$.