Ejercicios: Conceptos previos

Se lanza un dado de $8$ caras con forma de octaedro regular, numeradas del $1$ al $8$. Escribe el espacio muestral $E$ asociado a este experimento aleatorio y determina los elementos que componen los siguientes sucesos:

• $A =$ "Obtener un número primo".

• $B =$ "Obtener un número mayor que $5$".

• $C = A \cap B$.

En el departamento de control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, se extrae al azar una pieza de un lote de prueba. El lote contiene $5$ piezas defectuosas de color rojo, $3$ piezas funcionales de color azul y $2$ piezas funcionales de color amarillo.

Calcula, utilizando la regla de Laplace, la probabilidad de:

1. a) Extraer una pieza de color azul.
2. b) Extraer una pieza que sea funcional (no defectuosa).
3. c) Extraer una pieza que no sea amarilla.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio. Se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es $P(A \cap B) = 0,15$.

Calcula la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos, es decir, $P(A \cup B)$, y la probabilidad de que no ocurra $A$, denotada como $P(\overline{A})$.

De una baraja española de $40$ cartas, se extrae una carta al azar. Define los sucesos $A =$ "Sacar un Rey" y $B =$ "Sacar una carta de Espadas".

Determina las probabilidades $P(A)$, $P(B)$ y $P(A \cap B)$. A partir de ellas, calcula la probabilidad de sacar un Rey o una carta de Espadas.

Un estudiante de ingeniería informática está configurando un nuevo servidor. Puede elegir entre $3$ modelos de procesador, $4$ capacidades de memoria RAM distintas y $2$ tipos de disco duro (SSD o NVMe). Aplicando el principio multiplicativo, ¿cuántas configuraciones distintas de servidor puede crear eligiendo exactamente un componente de cada tipo? Si elige una configuración al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un disco NVMe?

Se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico perfecto numerado del $1$ al $6$. Considera los sucesos $A =$ "Obtener un número par" y $B =$ "Obtener un número primo mayor que $2$".

Escribe los elementos de cada suceso y determina, justificando tu respuesta, si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles.

Se lanzan simultáneamente $3$ monedas equilibradas (no trucadas). Escribe el espacio muestral completo $E$ usando la notación $C$ para cara y $X$ para cruz. A continuación, calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.

En un estudio de meteorología, la probabilidad de que llueva el sábado es $P(S)$ y la de que llueva el domingo es $P(D)$. Sabiendo que la probabilidad de que llueva en al menos uno de los dos días del fin de semana es $P(S \cup D) = 0,85$, utiliza las leyes de De Morgan o las propiedades del suceso contrario para calcular la probabilidad de que no llueva ningún día del fin de semana, es decir, $P(\overline{S} \cap \overline{D})$.

En un instituto tecnológico de $150$ alumnos, se ha realizado una encuesta sobre el uso de lenguajes de programación. Los resultados muestran que $85$ alumnos programan en Python ($P$), $60$ programan en Java ($J$) y $25$ programan en ambos lenguajes.

Si se selecciona un alumno al azar de este instituto, halla las siguientes probabilidades:

1. a) Que programe en al menos uno de los dos lenguajes.
2. b) Que no programe en ninguno de estos dos lenguajes.
3. c) Que programe en Python, pero no en Java.

Para acceder a una base de datos segura, un empleado debe generar un código PIN numérico de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). El sistema permite que los dígitos se repitan. Calcula la probabilidad de que un PIN generado de forma completamente aleatoria cumpla la siguiente condición: el primer dígito es un $7$ y el último dígito es par (considerando el $0$ como par).

En una cadena de montaje de motores eléctricos, se sabe que la probabilidad de que un motor presente un defecto de tipo mecánico es $P(M) = 0,06$, la probabilidad de que presente un defecto de tipo eléctrico es $P(E) = 0,04$, y la probabilidad de que presente ambos defectos simultáneamente es $P(M \cap E) = 0,01$. Calcula la probabilidad de que un motor elegido al azar:

1. a) Presente al menos un defecto.
2. b) No presente ningún defecto.
3. c) Presente un defecto mecánico sabiendo que no presenta ningún defecto eléctrico (expresa la fórmula de la diferencia de sucesos $P(M \cap \overline{E})$).

Se lanzan dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Se anota la puntuación de la cara superior de cada uno. Calcula la probabilidad de que ocurra el suceso $A =$ "La suma de las puntuaciones es exactamente $8$" o el suceso $B =$ "El valor absoluto de la diferencia entre las puntuaciones es exactamente $2$". ¿Son $A$ y $B$ sucesos incompatibles?

En una clínica veterinaria, el $55\%$ de los perros atendidos están vacunados contra la rabia ($R$), el $40\%$ están vacunados contra el parvovirus ($P$) y el $25\%$ están vacunados contra ambas enfermedades. Se elige el historial de un perro al azar. Calcula la probabilidad de que:

1. a) Esté vacunado contra la rabia pero no contra el parvovirus, es decir, $P(R - P)$.
2. b) Esté vacunado contra exactamente una de las dos enfermedades.

Un equipo de investigación está formado por $12$ especialistas: $7$ biólogos y $5$ químicos. Se debe seleccionar al azar un comité representativo de $3$ personas para asistir a un congreso internacional. Utilizando técnicas de combinatoria (combinaciones), calcula la probabilidad de que el comité esté formado exclusivamente por biólogos.

Se diseña el siguiente juego de azar estructurado en dos fases: en la primera fase, se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si la carta extraída es una figura (sota, caballo o rey), en la segunda fase se lanza un dado cúbico de $6$ caras. Si la carta no es una figura, en la segunda fase se lanza una moneda ($C$ o $X$).

Calcula el número total de resultados posibles que forman el espacio muestral de este experimento compuesto. Si todos los resultados elementales de cada fase son equiprobables en su respectivo subespacio, ¿es equiprobable el espacio muestral final compuesto? Razona tu respuesta.

Una urna opaca contiene $4$ bolas blancas y $6$ bolas negras. Se van a extraer $2$ bolas consecutivamente.

1. a) Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas si la extracción se realiza con reemplazamiento (la primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda).
2. b) Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas si la extracción se realiza sin reemplazamiento.

En una plataforma de entretenimiento digital con $500$ suscriptores, se analizan las preferencias por tres géneros: Acción ($A$), Comedia ($C$) y Drama ($D$). Los datos revelan que:

• $220$ ven Acción, $180$ ven Comedia, $150$ ven Drama.

• $70$ ven Acción y Comedia, $50$ ven Acción y Drama, $40$ ven Comedia y Drama.

• $15$ ven los tres géneros.

Si se elige un suscriptor al azar, halla la probabilidad de que:

1. a) Vea exclusivamente películas de Acción.
2. b) Vea exactamente un solo género de los tres.
3. c) No vea ninguno de estos tres géneros.

Un servidor de bases de datos genera claves de seguridad temporales de $6$ caracteres. Cada carácter se elige al azar de un conjunto formado por las $26$ letras del alfabeto y los $10$ dígitos numéricos, sin permitir la repetición de ningún carácter en la misma clave.

Utilizando conceptos de combinatoria (variaciones y combinaciones), determina la probabilidad de que una clave generada aleatoriamente contenga exactamente $2$ letras y $4$ dígitos, sin importar el orden en el que aparezcan.

La diferencia simétrica de dos sucesos $A$ y $B$, denotada como $A \triangle B$, se define como el suceso de que ocurra $A$ o $B$, pero no ambos simultáneamente. Algebraicamente, $A \triangle B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$.

Demuestra la relación $P(A \triangle B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$. A continuación, sabiendo que $P(A \cup B) = 0,85$, $P(\overline{A}) = 0,3$ y $P(B) = 0,6$, calcula el valor numérico de $P(A \triangle B)$.

Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura circular perfecto de $10\text{ km}$. La antena está situada exactamente en el centro de una región cuadrada de $20\text{ km}$ de lado (de modo que el círculo de cobertura está inscrito en el cuadrado).

Si se detecta una señal de un dispositivo móvil en un punto aleatorio dentro de la región cuadrada (siguiendo una distribución uniforme), ¿cuál es la probabilidad de que el dispositivo se encuentre dentro de la zona de cobertura de la antena? Expresa el resultado exacto en función de $\pi$ y su aproximación con dos decimales.

Se ha fabricado un dado cúbico trucado de forma que la probabilidad de que salga cada cara es directamente proporcional al número de dicha cara. Es decir, $P(x) = k \cdot x$ para $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, donde $k$ es una constante real.

1. a) Calcula el valor exacto de la constante $k$ sabiendo que la suma de las probabilidades del espacio muestral debe ser $1$.
2. b) Calcula la probabilidad de obtener un número primo al lanzar este dado trucado.

Una caja de componentes de robótica contiene $n$ LEDs de color verde y $4$ LEDs de color rojo. Se extraen al azar y sin reemplazamiento $2$ LEDs de la caja. Si se sabe que la probabilidad de que ambos LEDs extraídos sean de color verde es exactamente $\frac{1}{6}$, plantea una ecuación cuadrática en función de $n$ y resuélvela para determinar cuántos LEDs verdes había inicialmente en la caja.

En un sistema de control aeroespacial, tres sensores $A$, $B$ y $C$ están dispuestos de tal forma que el sensor $A$ está en serie con un bloque formado por los sensores $B$ y $C$ en paralelo. El sistema funciona si la señal puede atravesarlo de izquierda a derecha.

Las probabilidades de fallo individual de cada sensor son $P(F_A) = 0,1$, $P(F_B) = 0,2$ y $P(F_C) = 0,2$. Sabiendo que los fallos se producen de forma independiente (es decir, la probabilidad de intersección es el producto de probabilidades: $P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)$), calcula la probabilidad de que el sistema global funcione correctamente. (Nota: el sistema funciona si $A$ funciona y, además, funciona $B$ o funciona $C$).

En un estudio de toxicología ambiental en un río, se monitorizan tres contaminantes. Sean $A$, $B$ y $C$ los sucesos de encontrar niveles peligrosos del contaminante respectivo. Se sabe que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ y $P(C) = \frac{1}{4}$.

Además, se sabe que los contaminantes $A$ y $B$ nunca aparecen juntos en niveles peligrosos (son sucesos incompatibles), y que siempre que se detecta el contaminante $C$, también se detecta el contaminante $B$ (es decir, $C$ es un subconjunto de $B$, $C \subset B$).

Calcula la probabilidad de no encontrar ni el contaminante $A$ ni el contaminante $B$, es decir, $P(\overline{A} \cap \overline{B})$, y la probabilidad de encontrar al menos uno de los tres contaminantes, $P(A \cup B \cup C)$.