Ejercicios: Estimación de límites con tablas

Observa la tabla de valores de una función $f$ cuando $x$ se acerca a $3$ por la izquierda y por la derecha:

Estima el valor de $\lim_{x \to 3} f(x)$ y explica qué has observado en la tabla para dar tu respuesta.

La tabla muestra los valores de una función $g$ cerca de $x = 1$:

Estima los límites laterales de $g$ en $x = 1$ y razona si existe $\lim_{x \to 1} g(x)$.

La tabla recoge valores de $h(x) = \frac{3x + 1}{x}$ para valores cada vez mayores de $x$:

Estima $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ y confirma el resultado calculando el límite de forma algebraica.

La tabla muestra valores de $f(x) = \frac{\sen x}{x}$ (con $x$ en radianes) alrededor de $x = 0$, donde la función no está definida, como sugiere la figura:

Estima $\lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x}$ y explica por qué tiene sentido hablar de límite aunque $f(0)$ no exista.

La función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ no está definida en $x = 2$. La tabla muestra sus valores cerca de ese punto:

1. a) Estima $\lim_{x \to 2} f(x)$ a partir de la tabla.

1. b) Confirma el resultado algebraicamente simplificando la expresión de $f$.

1. c) ¿Cuál es el valor de $f(2)$? Explica la diferencia entre ese hecho y el límite calculado.

Observa la tabla de valores de $f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2}$ cerca de $x = 1$:

1. a) Describe el comportamiento de $f(x)$ cuando $x \to 1$.

1. b) ¿Existe el límite de $f$ en $x = 1$? Razona tu respuesta distinguiendo entre «límite infinito» y «no existe límite finito».

1. c) ¿Qué representa la recta $x = 1$ para la gráfica de $f$?

La posición de un móvil viene dada por $s(t) = t^2 + 2t$ metros.

1. a) Calcula la velocidad media en el intervalo $[2, 2 + h]$ y completa la tabla:

1. b) Estima la velocidad instantánea en el instante $t = 2$ observando la tabla.

1. c) Comprueba el resultado calculando $s'(2)$ mediante la definición o las reglas de derivación.

Para estimar $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$, un alumno calcula solo los valores $f(0,1) = 1$, $f(0,01) = 1$ y $f(0,001) = 1$, y concluye: «el límite es $1$». Explica el error de su procedimiento, calcula los valores que debería haber mirado y enuncia la conclusión correcta sobre la existencia de ese límite.

La tabla muestra valores de $f(x) = \sen\left(\frac{1}{x}\right)$ (en radianes) cada vez más próximos a $0$:

1. a) Un alumno afirma: «como los valores de $x$ se acercan a $0$, el límite existe y vale aproximadamente $-0,13$ (la media de la tabla)». Critica su razonamiento.

1. b) Calcula $f\left(\frac{1}{k\pi}\right)$ para $k = 1, 2, 3, \ldots$ y razona, eligiendo sucesiones de valores de $x$ adecuadas, que el límite no existe.

Se quiere estimar $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ con tres cifras decimales usando solo una calculadora básica.

1. a) Diseña la tabla de valores que utilizarías: justifica qué valores de $x$ eliges y por qué conviene acercarse por ambos lados.

1. b) Construye la tabla y da la estimación del límite.

1. c) Comprueba que tu estimación es coherente con el hecho de que ese límite es, por definición, la derivada de $e^x$ en $x = 0$.

La tabla muestra valores de $f(x) = (1 + x)^{1/x}$ cerca de $x = 0$:

1. a) Estima el límite con tres cifras decimales.

1. b) ¿A qué número conocido se aproxima ese límite? Escríbelo con su letra habitual.

1. c) Explica por qué no basta con calcular $f(0)$ para responder.

Al apagarse el ventilador de un procesador, su temperatura $T(t)$, en grados Celsius, empieza a subir. Se han medido las tasas medias de variación de la temperatura en intervalos $[60, 60 + h]$ segundos cada vez más pequeños:

1. a) Estima la tasa de variación instantánea de la temperatura en el instante $t = 60\ \text{s}$.

1. b) ¿Qué concepto del tema de derivadas representa ese valor? Escríbelo con notación matemática.

1. c) Interpreta el signo de la tasa en el contexto y explica qué información daría una tasa negativa.