Ejercicios: Problemas de límites y continuidad

La temperatura $T$ (en grados Celsius) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0,05t}$. Calcula el límite de la temperatura cuando el tiempo tiende a infinito e interpreta el significado físico de este resultado.

El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde 2020. ¿Hacia qué valor tiende la población a muy largo plazo?

Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en euros), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:

$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$

Estudia la continuidad de la función en $x = 10$ calculando los límites laterales e indica si hay algún salto brusco en la tarifa.

El espacio recorrido por un móvil en metros viene dado por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante el cociente $\frac{e(2+h) - e(2)}{h}$. Calcula el límite de esta expresión cuando $h \to 0$ para hallar la velocidad instantánea en $t = 2$.

El coste medio de producir $x$ unidades de un componente electrónico es $C_m(x) = \frac{3000 + 5x}{x}$ euros. Calcula el límite de $C_m(x)$ cuando $x \to \infty$ y explica su significado económico en términos de costes de producción.

La concentración de un fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcula el límite de $C(t)$ cuando $t \to \infty$ y razona qué le ocurre al fármaco en el organismo con el paso del tiempo.

Un depósito de agua de $100$ litros se vacía abriendo una válvula. El volumen de agua restante sigue la función $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, donde $t$ está en minutos ($0 \le t \le 60$). Calcula el límite de $V(t)$ cuando $t \to 60^-$ e interpreta el resultado.

El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de ventas realizadas. Halla el valor del parámetro $a$ para que la función sea continua en $x = 50$, evitando así un salto injustificado en el sueldo.

El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus beneficios $x$ (en cientos de miles de euros) se rige por la siguiente ley:

$I(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ ax + b & \text{si } 3 \le x \le 6 \\ 12 & \text{si } x > 6 \end{cases}$

Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función impositiva sea continua en todo su dominio.

La propagación de un virus en una ciudad sigue el modelo logístico $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0,2t}}$, donde $N(t)$ es el número de infectados y $t$ son los días transcurridos desde el inicio del brote. Calcula el número de infectados en el instante inicial ($t=0$) y el límite cuando $t \to \infty$. ¿Qué representa este límite en el contexto epidemiológico?

La gráfica muestra la función de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ para un producto, donde $p$ es el precio en euros y $D(p)$ la cantidad demandada, válida para $p \neq 10$. Calcula analíticamente el límite de la demanda cuando el precio $p$ se acerca a $10$ euros. ¿Por qué crees que el modelo matemático presenta una discontinuidad (un "hueco") exactamente en $p=10$?

La eficiencia de un panel solar en función de la temperatura $T$ (en grados Celsius) viene dada por la expresión $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ para valores cercanos a $T = 3$ (una temperatura crítica en un ensayo de laboratorio). Calcula el límite de la eficiencia cuando $T \to 3$ para determinar el valor teórico continuo en ese punto.

El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelizar mediante el límite $C(t) = \lim_{n \to \infty} C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$, donde $n$ es el número de periodos de capitalización por año. Si el capital inicial es $C_0 = 5000$ euros y la tasa anual es $r = 0,04$, calcula el límite para obtener la fórmula del capital continuo y determina el saldo al cabo de $t = 10$ años.

En la teoría de la relatividad, la energía cinética de una partícula de masa en reposo $m_0$ moviéndose a velocidad $v$ es $E_c = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$, donde $c$ es la velocidad de la luz. Calcula el límite de $E_c$ cuando $v \to c^-$. ¿Qué implicación física tiene este resultado respecto a la posibilidad de que una partícula masiva alcance la velocidad de la luz?

La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:

$C(t) = \begin{cases} \frac{t^2 - 16}{t - 4} & \text{si } 0 \le t < 4 \\ at + b & \text{si } 4 \le t \le 8 \\ \frac{2t^2 - 32}{t - 4} & \text{si } t > 8 \end{cases}$

Halla los valores de $a$ y $b$ para que el modelo de concentración sea una función continua en todo momento.

El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología viene dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costes: $B(t) = \sqrt{t^2 + 50t + 100} - \sqrt{t^2 + 10t}$, donde $t$ es el tiempo en meses. Calcula el límite del beneficio cuando $t \to \infty$ multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.

Un punto $P(x, x^2)$ se mueve sobre la parábola $y = x^2$ en el primer cuadrante. Se traza una línea recta que pasa por el punto fijo $A(0, 1)$ y por el punto $P$. Esta recta interseca al eje de abscisas en un punto $Q$. Calcula las coordenadas del punto $Q$ en función de $x$ y halla el límite de la posición de $Q$ cuando el punto $P$ se aleja hacia el infinito ($x \to \infty$).

Un modelo de propagación de una epidemia estima que el número de infectados (en miles) sigue la función racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Se sabe que a muy largo plazo el número de infectados se estabiliza en $50$ mil, que en el instante inicial $t=0$ había $10$ mil infectados, y que el límite de la función cuando $t \to 1$ es $35$. Halla los parámetros $a, b, c$.

La trayectoria vertical de un dron en una prueba de vuelo se ha programado según la función $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ para $t \neq 3$, donde $h$ es la altura en metros y $t$ el tiempo en segundos. Para evitar un fallo en el software, el ingeniero debe asignar un valor a $h(3)$. Estudia los límites laterales en $t=3$. ¿Es posible definir $h(3)$ para que la función sea continua? Explica las consecuencias físicas de este comportamiento.

El coste de mantenimiento de dos servidores informáticos a largo plazo viene dado por las expresiones $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ y $C_2(x) = \frac{x^2 + 5x}{x + 1}$, donde $x$ son los meses de uso continuo. Se quiere saber si la diferencia de coste entre ambos servidores se estabiliza con el tiempo. Calcula $\lim_{x \to \infty} (C_1(x) - C_2(x))$.

Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de euros) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costes operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$ es el precio del producto en euros ($x \ge 0$). Demuestra, justificando tu respuesta mediante el Teorema de Bolzano, que existe un precio $x$ en el intervalo $[4, 5]$ para el cual la empresa tiene un beneficio estrictamente nulo.

En un cultivo de bacterias en condiciones controladas, la biomasa tras $t$ horas se modeliza mediante la función $B(t) = 50 \left( \frac{t^2 + 3t + 1}{t^2 + t + 5} \right)^{2t}$. Sabiendo que se trata de una indeterminación del tipo $1^\infty$, calcula el límite de la biomasa cuando $t \to \infty$.

La función de demanda de un artículo de lujo es $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, donde $p$ es el precio en miles de euros. Se sabe que la función tiene una asíntota vertical en $p = 1$ pero NO tiene asíntota vertical en $p = 3$ (la discontinuidad en $p=3$ es evitable). Sabiendo que el límite de la demanda cuando $p \to 3$ es $2$, halla los parámetros $a$ y $b$.

Un péndulo amortiguado se suelta desde una posición inicial. Su amplitud de oscilación viene dada por la función $A(t) = e^{-0,1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ para $t > 0$. Calcula el límite de la amplitud cuando $t \to 0^+$ (recuerda que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$) y cuando $t \to \infty$. Interpreta el comportamiento del péndulo tanto en el instante inicial como a largo plazo.