Ejercicios: Continuidad de funciones

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en qué puntos es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta.

Determina el dominio de la función $g(x) = \sqrt{x^2 - 25}$ y justifica en qué intervalos la función es continua.

Observa la siguiente representación gráfica de una función $f(x)$ y determina los puntos donde presenta discontinuidades, clasificándolas en evitables, de salto finito o de salto infinito.

Expresa la función $h(x) = |x - 3|$ como una función definida a trozos y demuestra analíticamente que es continua en $x = 3$.

Dada la función exponencial $g(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, estudia su continuidad en el punto $x = 1$ calculando los límites laterales.

Estudia la continuidad de la función logarítmica $f(x) = \ln(8 - 2x)$, indicando claramente el intervalo de números reales donde es continua.

La función racional $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2}$ no está definida en $x = 2$. ¿Qué valor numérico debería tomar $f(2)$ para que la función sea continua en dicho punto?

Estudia la continuidad de la función trigonométrica $g(x) = \frac{1}{\cos x}$ en el intervalo abierto $(0, 2\pi)$. ¿En qué puntos presenta discontinuidades y de qué tipo son?

La tarifa de un aparcamiento público se calcula mediante la función $C(t) = 2 + 1,5 \cdot \text{ENT}(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $\text{ENT}(t)$ representa la función parte entera de $t$.

Identifica los puntos de discontinuidad de esta función en el intervalo $(0, 4)$ y explica el significado real de estas discontinuidades para un usuario del aparcamiento.

Demuestra, utilizando el Teorema de Bolzano, que la ecuación $x^3 + 2x - 4 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $(1, 2)$. Justifica todas las condiciones necesarias para aplicar el teorema.

La temperatura de un horno industrial en grados Celsius, $T(t)$, en función del tiempo en minutos $t$, viene dada por:

$T(t) = \begin{cases} 20 + 15t & \text{si } 0 \le t < 10 \\ k \cdot 0,9^{t-10} & \text{si } t \ge 10 \end{cases}$

Determina el valor de $k$ para que no haya un salto brusco de temperatura a los 10 minutos. ¿Qué fenómeno físico representa la función a partir de $t = 10$?

El siguiente gráfico ilustra el principio del Teorema de Bolzano para una función polinómica continua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observando la gráfica y evaluando la función, encuentra un intervalo de longitud 1 (es decir, $[n, n+1]$ con $n \in \mathbb{Z}$) donde se pueda garantizar la existencia de una raíz real, justificando tu respuesta.

Una compañía de telefonía móvil ofrece una tarifa de datos con las siguientes condiciones: se paga una cuota fija de $10$ € que incluye los primeros $5$ GB. Por cada GB adicional hasta llegar a los $20$ GB, se pagan $2$ €. A partir de los $20$ GB, el precio sigue la expresión $a + 1,5x$, donde $x$ es el total de GB consumidos.

Halla el valor del parámetro $a$ para que la función que representa el coste total sea continua en todo momento y escribe la expresión analítica completa de dicha función.

Estudia detalladamente la continuidad de la función racional $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - x - 6}$. Clasifica los tipos de discontinuidad que presenta en los puntos donde no está definida.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 + kx - 6}{x - 2}$, calcula el valor del parámetro $k$ para que la discontinuidad en $x = 2$ sea evitable. Una vez hallado, ¿cuál será el valor del límite de la función en ese punto?

Dada la función con valor absoluto $f(x) = \frac{x^2-9}{|x-3|}$, reescríbela como una función definida a trozos y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta en $x=3$.

Analiza la continuidad de la función $f(x) = \frac{x}{1-e^{1/x}}$ en el punto $x=0$. Calcula los límites laterales y determina si la discontinuidad es evitable o de salto.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 2a \ln(x) + b & \text{si } 1 < x \le e \\ e^{x-e} + a & \text{si } x > e \end{cases}$

Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ para todo $x \in [0, 1]$. Demuestra, apoyándote en el Teorema de Bolzano, que existe al menos un punto $c \in [0, 1]$ en el que la gráfica de la función interseca a la parábola $y = x^2$, es decir, demuestra que $f(c) = c^2$. (Pista: Define una función auxiliar $g(x) = f(x) - x^2$).

Para el diseño de una montaña rusa, se deben empalmar dos tramos de vía. El perfil de la montaña rusa viene dado por la siguiente función definida a trozos, donde $x$ es la distancia horizontal en metros:

La ecuación del perfil es:

$f(x) = \begin{cases} \frac{100}{x + 10} + a & \text{si } 0 \le x < 10 \\ bx^2 - 2x + 15 & \text{si } x \ge 10 \end{cases}$

Sabiendo que el diseño exige que la vía sea continua en el punto de empalme $x = 10$, y que el Tramo 1 parte de una altura de $15\text{ m}$ en $x = 0$, calcula los valores de $a$ y $b$.

Discute la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - mx + 4}$ en función de los posibles valores del parámetro real $m$. Presta especial atención a los casos en los que el denominador tiene raíces que coinciden con las del numerador.

Dadas las funciones $g(x) = \frac{1}{x - 2}$ y $h(x) = \sqrt{x + 1}$, obtén la expresión analítica de la función compuesta $f(x) = g(h(x))$ y estudia exhaustivamente su continuidad, indicando su dominio y el tipo de discontinuidades que presenta.

La capacidad calorífica específica $C_p(T)$ de un material experimenta una transición de fase a una temperatura crítica $T_c = 100$ K. El modelo termodinámico propuesto es:

$C_p(T) = \begin{cases} \frac{500}{\sqrt{120-T}} & \text{si } T < 100 \\ 200 \ln(T-99) + k & \text{si } T \ge 100 \end{cases}$

Calcula el valor de $k$ sabiendo que durante la transición de fase se produce una discontinuidad de salto finito (calor latente) tal que $\lim_{T \to 100^+} C_p(T) - \lim_{T \to 100^-} C_p(T) = 80$.

Encuentra los valores de $a, b$ y $c$ para que la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x^2-4}$ cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Tiene una discontinuidad evitable en $x=2$.

2. Tiene una asíntota vertical en $x=-2$.

3. Su límite cuando $x \to \infty$ es $3$.

4. Corta al eje de ordenadas en $y = -1,5$.

Estudia detalladamente la continuidad de la función $f(x) = e^{\frac{1}{|x|-1}}$. Determina su dominio, calcula los límites en los puntos conflictivos y clasifica rigurosamente el tipo de discontinuidad que presenta en cada uno de ellos.

La señal de voltaje en un osciloscopio muestra una onda amortiguada que repentinamente se estabiliza debido a la acción de un diodo de corte en $t = t_c$.

El modelo analítico para $t \ge 0$ es:

$V(t) = \begin{cases} e^{-0,5t} \cos(2\pi t) & \text{si } 0 \le t < t_c \\ C & \text{si } t \ge t_c \end{cases}$

Sabiendo que el corte se produce exactamente en el cuarto ciclo completo de la onda coseno ($t_c = 4$), demuestra analíticamente que la función es continua en ese punto calculando el valor exacto que debe tener la constante $C$.