Ejercicios: Inecuaciones con raíces cuadradas

Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.

Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.

Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.

Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.

Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.

Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.

Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.

El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la aceleración de la gravedad. Asumiendo $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, halla el rango de longitudes $L$ para las cuales el periodo de oscilación está estrictamente entre $1$ y $3$ segundos.

Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la trayectoria del dron viene dada por los puntos de la forma $(x, 3)$, plantea y resuelve la inecuación con raíces que determina los valores de $x$ permitidos para la trayectoria.

Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.

El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo diario es de $14$ horas, ¿cuántos lotes completos se pueden producir como máximo respetando el límite de tiempo?

Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.

El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ metros fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metros, donde $x$ es un parámetro de ajuste estructural. Halla los valores de $x$ que garantizan que la altura del panel sea de al menos $2$ metros.

Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:

$\sqrt{3x + 1} \le 4$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas de derrape en metros. Si en un tramo de autovía el límite de velocidad es de $120\text{ km/h}$, plantea una inecuación y determina qué longitudes de derrape indican que el conductor superaba el límite de velocidad.

Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.

Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en kilómetros en el instante $t$ (en minutos) viene dada por la función $d(t) = \sqrt{t^2 - 12t + 52}$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el vehículo dispone de cobertura.

Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.

Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.

Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El coste de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia en línea recta $\sqrt{x^2 + 16}$, y el coste por terreno llano es proporcional a la distancia restante $(8 - x)$. El modelo de coste total simplificado viene dado por $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + (8 - x)$. ¿Para qué valores de $x \ge 0$ el coste total cumple la restricción presupuestaria $C(x) \le 16$?

Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.

En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad del objeto y $c$ la velocidad de la luz. Plantea y resuelve una inecuación para encontrar el rango de velocidades $v$ (expresadas como una fracción de $c$, asumiendo $v \ge 0$) para las cuales el factor de Lorentz es estrictamente mayor que $2$.

Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación gráfica adjunta.