Ejercicios: Recta de regresión de y sobre x

Conocidos los parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: media de $X$ igual a $4$, media de $Y$ igual a $6$, varianza de $X$ igual a $1,5$ y covarianza igual a $3$. Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

En un estudio sobre la relación entre la cantidad de fertilizante aplicado ($X$, en kg/ha) y la producción obtenida ($Y$, en toneladas/ha), se ha calculado la recta de regresión de $Y$ sobre $X$, resultando ser $y = 0,4x + 2,1$. Estima la producción que se obtendrá si se aplican $15$ kg/ha de fertilizante.

Dada la siguiente tabla con tres pares de valores de una distribución bidimensional:

• $X$: $1 \quad 2 \quad 3$

• $Y$: $2 \quad 4 \quad 5$

Calcula la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bidimensional es $y = 1,2x - 0,5$. Si sabemos que la media marginal de la variable $X$ es $\bar{x} = 3$, ¿cuál es el valor exacto de la media marginal $\bar{y}$?

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre los años de experiencia de un grupo de técnicos y su salario mensual en cientos de euros, junto con la recta de regresión de $Y$ sobre $X$. A partir de la representación gráfica, estima visualmente el salario esperado para un técnico con $6$ años de experiencia y determina la ordenada en el origen de la recta.

En una distribución bidimensional se sabe que las desviaciones típicas son $\sigma_x = 2$ y $\sigma_y = 5$, y el coeficiente de correlación lineal es $r = -0,8$. Calcula la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ sabiendo que el centro de gravedad de la distribución es el punto $(10, 20)$.

Las variables $X$ e $Y$ representan, respectivamente, el número de horas de entrenamiento semanal y el tiempo en segundos en recorrer $100$ metros lisos de un grupo de atletas. Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0,5x + 14$, interpreta el significado físico de la pendiente de esta recta en el contexto del problema.

Una distribución bidimensional tiene por matriz de datos los siguientes sumatorios: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, y el número total de observaciones es $N = 10$. Calcula la covarianza y la varianza de $X$, y escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Una empresa de marketing digital ha recopilado datos sobre la inversión en campañas de redes sociales ($X$, en miles de euros) y los ingresos generados por ventas ($Y$, en decenas de miles de euros) durante $5$ meses consecutivos:

• $X$: $2,5 \quad 3,0 \quad 3,5 \quad 4,0 \quad 4,5$

• $Y$: $12 \quad 14 \quad 15 \quad 18 \quad 19$

Calcula la recta de regresión de los ingresos en función de la inversión y estima los ingresos esperados si se invierten $5000$ euros.

En un estudio de biomecánica, se analiza la relación entre la longitud del fémur ($X$, en cm) y la altura de un individuo ($Y$, en cm). Se dispone de los siguientes resúmenes estadísticos para una muestra de $50$ personas:

$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.

Halla la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y estima la altura de una persona cuyo fémur mide $48$ cm. Justifica brevemente la fiabilidad de esta estimación.

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = 0,5x + 4$ y $x = 1,6y - 2$. Determina las coordenadas del centro de gravedad de la distribución y el coeficiente de correlación lineal $r$, indicando razonadamente su signo.

En un experimento de termodinámica se mide la temperatura de un líquido ($Y$, en ºC) en función del tiempo transcurrido ($X$, en minutos). La recta de regresión obtenida es $y = -1,5x + 85$. Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,95$ y que el experimento tuvo una duración total de $30$ minutos, ¿es fiable estimar la temperatura a los $45$ minutos usando esta recta? Justifica tu respuesta basándote en los conceptos de interpolación y extrapolación.

Se ha estudiado la relación entre la cantidad de impurezas en una aleación metálica ($X$, en $\%$ ) y su resistencia a la tracción ($Y$, en MPa). Tras analizar $20$ muestras, se obtuvo $\bar{x} = 2,1$, $\bar{y} = 450$, y una recta de regresión de $Y$ sobre $X$ dada por $y = -15x + 481,5$. Calcula la covarianza de la distribución si se sabe que la varianza de las impurezas es $\sigma_x^2 = 0,8$.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la profundidad a la que se encuentra una veta de mineral ($X$, en metros) y el coste de extracción por tonelada ($Y$, en miles de euros). La recta trazada es la de regresión de $Y$ sobre $X$. A partir del gráfico, obtén las coordenadas de los dos puntos marcados sobre la recta, calcula su ecuación exacta y estima el coste de extracción para una profundidad de $120$ metros.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bivariante es $y = 3x - 2$. Si a todos los valores observados de la variable $X$ se les suma $4$ unidades y a todos los valores de la variable $Y$ se les multiplica por $2$, ¿cuál será la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$?

En un centro meteorológico se relaciona la presión atmosférica ($X$, en hPa) con la probabilidad de precipitación ($Y$, en $\%$). Sabiendo que el centro de gravedad de la distribución es el punto $(1013, 40)$, la desviación típica de la presión es $5$ hPa, la de la probabilidad es $20\%$, y el coeficiente de correlación lineal es $-0,85$, halla la ecuación de la recta de regresión que permite estimar la probabilidad de lluvia conociendo la presión atmosférica.

Demuestra analíticamente que si las variables $X$ e $Y$ tienen una correlación lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), entonces la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ coincide exactamente con la recta de regresión de $X$ sobre $Y$. Explica brevemente qué implicación geométrica tiene esto sobre el ángulo que forman ambas rectas en el plano.

En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, la variable $X$ representa la irradiancia solar ($W/m^2$) y la variable $Y$ la potencia eléctrica generada ($W$). Se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ viene dada por $y = 0,18x + 5$, y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ por $x = 5y - 10$. Calcula las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$, y halla el porcentaje exacto de la variabilidad de la potencia eléctrica que queda explicada por la irradiancia solar.

Se dispone de un conjunto de datos bivariantes $(x_i, y_i)$ donde la variable $X$ toma los valores $1, 2, 3, 4$ y la variable $Y$ toma los valores $2, k, 5, 8$. Sabiendo que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1,9$, plantea una ecuación y determina el valor exacto del parámetro $k$.

En un análisis macroeconómico, se relaciona la tasa de inflación ($X$, en $\%$ ) con la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0,6x + 8$. Si la varianza marginal de la inflación es $\sigma_x^2 = 4$ y la varianza marginal del desempleo es $\sigma_y^2 = 2,25$, determina el coeficiente de correlación lineal $r$ y el porcentaje de la variabilidad del desempleo que queda explicada por el modelo de regresión lineal.

Un ingeniero civil estudia la relación entre la carga soportada por una viga ($X$, en toneladas) y su deformación máxima ($Y$, en milímetros). Se han perdido algunos datos del informe original, pero se sabe que la media de la carga es $\bar{x} = 15$, la varianza de la carga es $\sigma_x^2 = 16$, la covarianza es $\sigma_{xy} = 18$, el coeficiente de correlación es $r = 0,9$ y la ordenada en el origen de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $b = 2$. Calcula la media de la deformación $\bar{y}$, la desviación típica $\sigma_y$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

El siguiente gráfico muestra una nube de puntos que relaciona la velocidad de un vehículo ($X$, en km/h) con la distancia de frenado ($Y$, en metros). Se han trazado las dos rectas de regresión: la Recta A (en azul) y la Recta B (en verde). Identifica razonadamente, basándote en las propiedades de las pendientes, cuál de las dos rectas es la de regresión de $Y$ sobre $X$ y halla su ecuación sabiendo que ambas se cortan en el punto $(80, 40)$ y que la azul pasa por $(100, 56)$.

En una investigación farmacéutica, se modeliza la concentración de un principio activo en sangre ($Y$, en mg/L) en función de la dosis administrada ($X$, en mg). Si realizamos un cambio de variable estandarizando ambas variables, es decir, definimos $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, demuestra algebraicamente que la recta de regresión de $Z_y$ sobre $Z_x$ pasa por el origen de coordenadas y que su pendiente es exactamente el coeficiente de correlación lineal $r$.

Se ha estudiado una distribución bidimensional de $100$ pares de valores. Se sabe que la suma de los cuadrados de los residuos (la suma de las diferencias al cuadrado entre los valores reales observados $y_i$ y los estimados por la recta $\hat{y}_i$) es igual a $150$. Si la varianza marginal de la variable $Y$ es $\sigma_y^2 = 4$, halla el coeficiente de determinación $R^2$ utilizando la relación $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = N \cdot \sigma_y^2 (1 - r^2)$, y calcula el valor absoluto de la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ sabiendo que la varianza marginal de $X$ es $\sigma_x^2 = 9$.