Ejercicios: Problemas

Se ha medido el tiempo en horas ($X$) y la distancia recorrida en km ($Y$) por un ciclista en $5$ etapas, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$: $(2, 45)$, $(3, 65)$, $(4, 85)$, $(2, 40)$ y $(5, 110)$. Calcula la covarianza de esta distribución bidimensional.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bidimensional viene dada por la ecuación $y = 3,2x - 1,5$. Si la media aritmética de la variable $X$ es $\bar{x} = 4,5$, determina el valor de la media aritmética de la variable $Y$, $\bar{y}$.

En un estudio sobre el peso ($X$, en kg) y la altura ($Y$, en cm) de un grupo de estudiantes, se ha obtenido un coeficiente de correlación lineal $r = 0,85$. Si las desviaciones típicas marginales son $S_x = 12$ y $S_y = 8$, calcula el valor exacto de la covarianza $S_{xy}$.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la edad de un grupo de vehículos ($X$, en años) y su valor de mercado en la actualidad ($Y$, en miles de euros). Observando la forma de la nube de puntos, indica el signo que tendrá la covarianza y si la correlación lineal entre ambas variables es fuerte o débil.

Para estimar el consumo eléctrico mensual ($Y$, en kWh) en función del número de personas que habitan en una vivienda ($X$), se ha obtenido la recta de regresión $y = 45x + 120$ con un coeficiente de correlación $r = 0,92$. Estima el consumo para una vivienda con $4$ personas e indica si la estimación es muy fiable o poco fiable, justificando brevemente tu respuesta.

En la siguiente tabla de contingencia se recogen los datos de $100$ piezas cerámicas, clasificadas según su tamaño ($X$: Pequeño=$1$, Grande=$2$) y su calidad ($Y$: Defectuosa=$0$, Óptima=$1$). Escribe la tabla de la distribución marginal de la variable $Y$ y calcula su media $\bar{y}$.

De una distribución bidimensional se conocen los siguientes parámetros estadísticos: $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$, la varianza marginal de $X$, $S_x^2 = 16$, y la covarianza $S_{xy} = 24$. Escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

En un estudio que relaciona el presupuesto en marketing de varias empresas ($X$) con sus beneficios anuales ($Y$), se ha calculado que el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,7$. ¿Qué porcentaje de la variabilidad de los beneficios queda explicada por el presupuesto en marketing según el modelo de regresión lineal propuesto?

En un laboratorio de física se ha medido el alargamiento de un muelle elástico ($Y$, en cm) al colgarle diferentes masas ($X$, en kg). Los resultados obtenidos en el experimento son:

$X$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$

$Y$: $2,1$, $3,9$, $6,2$, $7,8$, $10,1$, $12,2$

Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Una empresa de tecnología quiere predecir el número de ventas de un nuevo smartphone ($Y$, en miles de unidades) en función de las menciones diarias en redes sociales ($X$, en miles). Se han recopilado los datos de $8$ lanzamientos anteriores, obteniéndose los siguientes sumatorios:

$\sum x_i = 160$, $\sum y_i = 400$, $\sum x_i^2 = 3600$, $\sum y_i^2 = 21500$, $\sum x_i y_i = 8600$.

Calcula la covarianza, el coeficiente de correlación lineal y estima las ventas que se obtendrán si se registran $25$ mil menciones en el día del lanzamiento.

El diagrama de dispersión adjunto representa la relación entre la temperatura media mensual ($X$, en $^\circ\text{C}$) y el consumo de gas natural ($Y$, en $\text{m}^3$) en una ciudad durante el último año. Sabiendo que las medias marginales son $\bar{x} = 15$ y $\bar{y} = 120$, y que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $-3,5$, halla la ecuación de dicha recta y estima el consumo de gas para un mes con una temperatura media de $8 \ ^\circ\text{C}$.

Al estudiar la relación estadística entre dos variables $X$ e $Y$, se han obtenido las siguientes rectas de regresión:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,5x + 4$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,5y - 3$

Calcula las coordenadas del centro de gravedad de la distribución bidimensional $(\bar{x}, \bar{y})$.

Se ha realizado un estudio sobre el número de horas de entrenamiento semanal ($X$) y la marca obtenida en una prueba de atletismo ($Y$, en segundos) en un grupo de corredores. Tras el análisis, se sabe que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 45$, $S_x = 3$, $S_y = 2$ y la covarianza es $S_{xy} = -4,8$.

Calcula la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ y estima cuántas horas semanales entrenó un atleta que ha logrado una marca de $42$ segundos en la prueba.

La siguiente tabla de doble entrada muestra la distribución de $50$ familias según el número de hijos ($X$) y el número de vehículos que poseen ($Y$):

Calcula la media y la desviación típica de la distribución condicionada del número de vehículos que poseen las familias sabiendo que tienen exactamente $1$ hijo (es decir, la distribución $Y|X=1$).

El coeficiente de correlación entre los ingresos mensuales ($X$, en euros) y el gasto en ocio ($Y$, en euros) de un grupo de personas es $r = 0,75$. Si decidimos expresar los ingresos en miles de euros ($X' = \frac{X}{1000}$) y el gasto en ocio incrementarlo en una cantidad fija de $50$ euros debido a una subvención ($Y' = Y + 50$), ¿cuál será el nuevo coeficiente de correlación lineal entre $X'$ e $Y'$? Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de la covarianza y las desviaciones típicas.

Para una distribución bidimensional se conocen los siguientes datos: tamaño muestral $n = 10$, medias marginales $\bar{x} = 5$ e $\bar{y} = 8$, varianzas marginales $S_x^2 = 4$ y $S_y^2 = 9$. Además, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 1,2x + 2$.

Calcula el valor exacto de la covarianza $S_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal $r$.

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = -0,5x + 8$ (recta de $Y$ sobre $X$) y $x = -1,28y + 10$ (recta de $X$ sobre $Y$).

Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ y halla las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

En un estudio estadístico sobre dos variables $X$ e $Y$, se ha realizado un cambio de variable tipificando o reescalando los datos originales de la forma $U = \frac{X - 10}{5}$ y $V = \frac{Y - 20}{2}$. Se sabe que la recta de regresión de $V$ sobre $U$ es $v = 0,8u + 1,5$.

Encuentra, deshaciendo el cambio de variable, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en su forma explícita $y = mx + n$.

Una fábrica estudia la relación entre la antigüedad de sus máquinas ($X$, en años) y el coste anual de mantenimiento ($Y$, en cientos de euros). Se han tomado datos de $4$ máquinas, pero por un error informático se ha perdido el coste de mantenimiento de una de ellas. Los pares $(x_i, y_i)$ son: $(2, 4)$, $(3, 5)$, $(5, k)$, $(6, 9)$.

Sabiendo que la media marginal del coste de mantenimiento de las cuatro máquinas es $\bar{y} = 6,5$, determina el valor de $k$ y, a continuación, calcula la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Demuestra matemáticamente, utilizando las expresiones de las pendientes de las rectas de regresión en función de la covarianza y las varianzas marginales, que si el coeficiente de correlación lineal es perfecto ($r = 1$ o $r = -1$), las dos rectas de regresión (la de $Y$ sobre $X$ y la de $X$ sobre $Y$) son rectas coincidentes.

El siguiente diagrama de dispersión muestra el crecimiento de una colonia de bacterias ($Y$, en miles) en función del tiempo ($X$, en horas). La nube de puntos sugiere un crecimiento exponencial del tipo $Y = A \cdot e^{BX}$.

Para linealizar el modelo, se ha propuesto realizar el cambio de variable $Z = \ln(Y)$. Si al realizar el ajuste de regresión lineal de $Z$ sobre $X$ obtenemos la recta $z = 0,4x + 1,2$, determina los valores numéricos de las constantes $A$ y $B$ del modelo exponencial original.

Se tiene la siguiente tabla de frecuencias conjuntas (frecuencias absolutas) para dos variables cualitativas $X$ e $Y$:

Determina el valor exacto del parámetro $k$ sabiendo que las variables $X$ e $Y$ son estadísticamente independientes.

En un estudio estadístico, la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 2x - 3$ y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $x = 0,4y + 2$. Sabiendo que la varianza marginal de la variable $X$ es $S_x^2 = 5$, calcula el valor de la varianza marginal de $Y$, $S_y^2$, y el valor de la covarianza $S_{xy}$.

Se han estudiado dos grupos de empleados de una misma empresa multinacional para analizar la relación entre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual ($Y$).

En el Grupo A, formado por $10$ empleados, se ha obtenido: $\bar{x}_A = 5$, $\bar{y}_A = 1500$, y una covarianza $S_{xy,A} = 200$.

En el Grupo B, formado por $20$ empleados, se ha obtenido: $\bar{x}_B = 5$, $\bar{y}_B = 1500$, y una covarianza $S_{xy,B} = 350$.

Calcula la covarianza total $S_{xy}$ si decidiéramos agrupar a los $30$ empleados en una única distribución bidimensional.