Ejercicios: Regresión no lineal y causalidad

En un ajuste lineal por mínimos cuadrados se ha obtenido un coeficiente de correlación $r = -0,9$. Calcula el coeficiente de determinación $r^2$ e interpreta su significado: ¿qué porcentaje de la variación de la variable $y$ queda explicado por la variación de $x$?

Las tres nubes de puntos de la figura corresponden a tres estudios distintos. Para cada una de ellas, indica qué tipo de modelo parece más adecuado —lineal ($y = a + bx$), cuadrático ($y = a + bx + cx^2$) o exponencial ($y = a \cdot b^x$)— y justifica brevemente tu elección.

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «El coeficiente de correlación entre las ventas de helados y el número de ahogamientos en piscinas es alto y positivo; por tanto, vender más helados provoca más ahogamientos». Si es falsa, explica el error de interpretación y nombra una variable que podría explicar ambas a la vez.

En dos estudios estadísticos se han obtenido los coeficientes de correlación $r_1 = 0,8$ y $r_2 = -0,95$. ¿Cuál de los dos ajustes lineales permite hacer predicciones más fiables? Explica por qué el signo del coeficiente no afecta a la fiabilidad.

Se sospecha que la variable $y$ depende cuadráticamente de $x$. Con los cinco datos de la tabla

se han calculado las sumas $\sum x_i = 10$, $\sum x_i^2 = 30$, $\sum x_i^3 = 100$, $\sum x_i^4 = 354$, $\sum y_i = 25$, $\sum x_i y_i = 60$ y $\sum x_i^2 y_i = 204$.

1. a) Plantea el sistema de tres ecuaciones que deben cumplir los coeficientes de la parábola de regresión $y = a x^2 + bx + c$.

1. b) Resuélvelo y escribe la ecuación del ajuste cuadrático.

1. c) Estima el valor de $y$ para $x = 5$ y comenta la fiabilidad de esa predicción.

El número de usuarios de una aplicación crece de forma aproximadamente exponencial: $y = a \cdot b^x$, donde $x$ son los meses transcurridos. Tomando logaritmos neperianos, $\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$, de modo que los pares $(x, \ln y)$ se ajustan a una recta. Los datos linealizados son:

1. a) Comprueba que los cuatro puntos linealizados están exactamente sobre una recta y halla su ecuación.

1. b) Deduce los valores de $a$ y $b$ (expresa $a$ y $b$ como potencias de $e$ y aproxímalas con dos decimales).

1. c) Estima el número de usuarios al cabo de $6$ meses.

Para los mismos datos se han probado dos modelos: un ajuste lineal con $r = 0,84$ y un ajuste cuadrático con coeficiente de determinación $r^2 = 0,93$.

1. a) Calcula el coeficiente de determinación del modelo lineal.

1. b) ¿Qué porcentaje de la variación de $y$ explica cada modelo?

1. c) ¿Cuál elegirías para hacer predicciones? Justifica tu respuesta.

En una ciudad se observa una correlación $r = 0,92$ entre el número de camiones de bomberos que acuden a un incendio y los daños económicos que este provoca. Un político afirma: «Para reducir los daños de los incendios, deberíamos enviar menos camiones de bomberos». Analiza la falacia de su razonamiento, identifica la variable que explica la correlación y formula una conclusión correcta a partir del mismo dato.

Con los datos de una distribución bidimensional en la que $x$ varía entre $10$ y $30$, con $\bar{x} = 20$ y $r = 0,97$, se ha obtenido una recta de regresión. Dos alumnos la usan para estimar $y$: uno para $x = 22$ y otro para $x = 55$.

1. a) ¿Qué estimación es más fiable? Razona la respuesta usando la posición de cada valor respecto del rango de los datos y de $\bar{x}$.

1. b) ¿Cómo se llama el tipo de predicción que se hace fuera del rango de los datos y por qué es arriesgada?

La figura muestra el porcentaje de hogares españoles con conexión de fibra óptica en función de los años transcurridos desde 2015, según datos del INE.

1. a) Ajusta una recta de regresión a los cinco primeros datos usando las medias $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 64,6$ y los valores $s_{xy} = 55,2$, $s_x^2 = 8$.

1. b) Predice el porcentaje para $x = 12$ (año 2027) con esa recta.

1. c) Observando la forma de la nube de puntos completa, critica la validez de esa predicción a largo plazo: ¿qué cota natural tiene la variable y qué tipo de modelo sería más sensato?

Un alumno, tras calcular un coeficiente de correlación $r = 0,4$, escribe en su informe: «Como $r = 0,4$, el $40\,\%$ de la variación de $y$ se debe a la variación de $x$». Detecta el error conceptual, corrígelo calculando el porcentaje correcto y valora si el ajuste lineal es adecuado para hacer predicciones con esos datos.

En un laboratorio de Física se mide el periodo $T$ de un péndulo en función de su longitud $L$, y se sospecha una relación potencial $T = a \cdot L^b$. Tomando logaritmos, $\ln T = \ln a + b \cdot \ln L$. Los datos linealizados son:

1. a) Ajusta una recta a los datos linealizados y escribe su ecuación.

1. b) Deduce los valores de $a$ y $b$.

1. c) Compara el valor obtenido de $b$ con el que predice la Física, $b = \frac{1}{2}$, y comenta el resultado.

El consumo de un coche eléctrico, en $\text{kWh}$ cada $100\ \text{km}$, se ha medido a distintas velocidades y los datos aparecen en la figura:

1. a) Representa mentalmente (o esboza) la nube de puntos y razona por qué un modelo cuadrático es más adecuado que uno lineal.

1. b) Calcula las sumas necesarias $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$, $\sum x_i^4$, $\sum y_i$, $\sum x_i y_i$, $\sum x_i^2 y_i$ y plantea el sistema del ajuste cuadrático.

1. c) Resuelve el sistema y escribe la ecuación de la parábola de regresión (redondea los coeficientes a cuatro decimales).

1. d) Halla la velocidad de consumo mínimo según el modelo y predice el consumo a $140\ \text{km/h}$, valorando la fiabilidad de esa predicción.

En varios distritos de una región europea se ha observado una correlación $r = 0,85$ entre el número de cigüeñas censadas y el número de nacimientos registrados.

1. a) Explica por qué sería absurdo concluir que las cigüeñas «traen» los bebés, identificando el tipo de correlación que presenta este ejemplo.

1. b) Propón una variable oculta plausible que explique la correlación y razona cómo actúa sobre ambas variables.

1. c) Diseña brevemente qué datos recogerías y qué cálculo harías para desenmascarar la relación espuria.

En una distribución bidimensional, la recta de regresión de $y$ sobre $x$ tiene pendiente $m_{yx} = 1,2$ y la recta de regresión de $x$ sobre $y$ tiene pendiente $m_{xy} = 0,75$.

1. a) Utilizando la relación $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$, calcula el coeficiente de determinación.

1. b) Deduce el valor del coeficiente de correlación $r$, razonando su signo.

1. c) Interpreta el valor de $r^2$ como porcentaje de variación explicada y valora la fiabilidad de las predicciones hechas con esas rectas.

La superficie de un lago cubierta por una planta invasora se ha medido durante $5$ meses:

1. a) Representa los pares $(x, \ln y)$, comprueba que se alinean razonablemente y ajusta una recta a los datos linealizados (tómate $\ln y$ con dos decimales).

1. b) Escribe el modelo exponencial $y = a \cdot b^x$ correspondiente y calcula el ritmo de crecimiento mensual en porcentaje.

1. c) Predice la superficie cubierta en el mes $8$ y, sabiendo que el lago tiene $1.500\ \text{m}^2$, comenta qué problema presenta extrapolar este modelo a largo plazo.