Ejercicios: Ecuaciones irracionales

Resuelve la siguiente ecuación irracional y comprueba la validez de su solución:

$\sqrt{4x + 9} = 5$

Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación con una raíz cúbica:

$\sqrt[3]{3x - 5} = 2$

Determina las posibles soluciones de la ecuación de segundo grado bajo el radical:

$\sqrt{x^2 - 3x + 6} = 2$

Resuelve la ecuación irracional aislando el radical y elevando al cuadrado. Presta especial atención a las posibles soluciones falsas:

$\sqrt{2x + 15} = x$

Halla la solución igualando los radicandos de la siguiente ecuación:

$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 8}$

Despeja la incógnita $x$ en la ecuación irracional que contiene una fracción en su radicando:

$\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$

En cinemática, el tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula desde qué altura se dejó caer una piedra si tardó exactamente $4$ segundos en llegar al suelo.

La diagonal $d$ de un rectángulo se puede calcular a partir de sus lados $b$ y $h$ usando el teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabemos que la diagonal mide $13$ cm y uno de sus lados mide $5$ cm, plantea la ecuación irracional correspondiente y calcula la longitud del otro lado.

Resuelve la ecuación con dos radicales aislándolos adecuadamente en miembros distintos antes de elevar al cuadrado:

$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, comprobando obligatoriamente los resultados obtenidos para descartar soluciones extrañas:

$x - \sqrt{2x - 1} = 2$

El periodo $T$ de un péndulo simple (el tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) se calcula mediante la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros y $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un reloj de péndulo en una exposición científica tiene un periodo exacto de $2,5$ segundos, averigua la longitud de su péndulo. Utiliza la aproximación $\pi \approx 3,14$.

La distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(x, 3)$ en el plano cartesiano es exactamente de $5$ unidades. Plantea la ecuación irracional correspondiente a la distancia entre dos puntos y calcula las posibles coordenadas $x$ del punto $B$.

Resuelve la siguiente ecuación que involucra la diferencia de dos raíces cuadradas. Aísla una de las raíces antes de elevar al cuadrado:

$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$

En una fábrica de componentes electrónicos, el coste de producción diario $C(x)$ en euros en función de $x$ unidades fabricadas se modeliza mediante la función $C(x) = 250 + 15\sqrt{x - 50}$. Si en un día determinado el coste de producción ha sido exactamente de $850$ euros, ¿cuántas unidades se han fabricado?

Resuelve la siguiente ecuación irracional realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $t = \sqrt{x}$):

$x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$

La distancia $d$ en kilómetros a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ en metros sobre el nivel del mar se aproxima de forma simplificada mediante la fórmula $d = 3,57\sqrt{h}$. Si un vigía en la cofa de un barco pirata avista tierra a una distancia de $15$ km, ¿a qué altura se encuentra aproximadamente?

Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas al final del proceso:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Encuentra las soluciones reales de la ecuación con radicales anidados:

$\sqrt{x + \sqrt{x - 2}} = 2$

Discute de forma razonada para qué valores del parámetro real $k > 0$, la ecuación $\sqrt{x + k} = x$ tiene exactamente una única solución real válida.

Un ingeniero diseña una rampa de carga para un almacén logístico. La base horizontal mide $x$ metros y la altura mide $2$ metros menos que la base. Si la longitud de la rampa (la hipotenusa) viene dada por la expresión $\sqrt{2x^2 - 4x + 4}$ y se requiere que mida exactamente $\sqrt{34}$ metros, plantea la ecuación irracional y determina las dimensiones reales de la rampa.

Resuelve la siguiente ecuación irracional. Puedes racionalizar previamente el denominador, o bien multiplicar en cruz y agrupar términos inteligentemente para facilitar el cálculo:

$\frac{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3}} = 2$

Según la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein, el factor de Lorentz $\gamma$ determina la dilatación del tiempo y se calcula como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad de la nave y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Si en una misión espacial se observa que el tiempo pasa al $50\%$ del ritmo terrestre (es decir, $\gamma = 2$), resuelve la ecuación irracional para hallar a qué fracción de la velocidad de la luz viaja la nave.

Resuelve la siguiente ecuación irracional aislando estratégicamente los radicales y verificando las soluciones al final:

$\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x + 2}$

Un tendido eléctrico debe conectar una central $A$ situada en un lado de un río recto de $4$ km de ancho, con una ciudad $B$ situada en el lado opuesto, $10$ km río abajo. El coste de tender el cable bajo el agua es de $5$ millones de euros por km, y por tierra es de $3$ millones de euros por km. Si el cable cruza el río en línea recta hasta un punto $P$ situado a $x$ km río abajo y luego va por tierra hasta $B$, el coste total en millones de euros es $C(x) = 5\sqrt{x^2 + 16} + 3(10 - x)$. Encuentra el valor de $x$ que hace que el coste total sea exactamente de $46$ millones de euros resolviendo la ecuación irracional correspondiente.