Ejercicios: Tasa de variación media de una función

Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = 3x - 5$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Coincide este valor con la pendiente de la recta que representa a la función?

Halla la tasa de variación media de la función cuadrática $g(x) = x^2 - 4x + 1$ en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 4]$.

Dada la función $h(t) = t^3 + 2t$, determina su tasa de variación media en el intervalo $[-1, 2]$.

Calcula la tasa de variación media de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ en el intervalo $[2, 5]$.

Encuentra la tasa de variación media de la función radical $p(x) = \sqrt{x + 3}$ en el intervalo $[1, 6]$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada en la figura. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[-2, 2]$. ¿Qué interpretación geométrica tiene este valor con respecto a la recta secante trazada?

La distancia en metros recorrida por un ciclista en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $d(t) = 2t^2 + 5t$. ¿Cuál ha sido su velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 5$?

La temperatura en grados Celsius de un horno industrial evoluciona según la función $T(t) = 20 + 5t - t^2$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Calcula la tasa de variación media de la temperatura en los primeros $3$ minutos.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la tasa de variación media de la función $f(x) = kx^2 - 3x + 2$ en el intervalo $[1, 3]$ sea igual a $5$.

Compara la tasa de variación media de las funciones $f(x) = 2^x$ y $g(x) = x^3$ en el intervalo $[2, 4]$. ¿Cuál de las dos funciones experimenta un mayor crecimiento medio en dicho intervalo?

El número de bacterias en un cultivo de laboratorio tras $t$ horas se modeliza mediante la función $N(t) = 500 \cdot e^{0,2t}$. Calcula la tasa de variación media de la población en el intervalo de tiempo comprendido entre $t = 0$ y $t = 5$ horas. Expresa el resultado en función del número $e$.

Los beneficios mensuales de una empresa, en miles de euros, vienen dados por la función $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, donde $x$ es la cantidad invertida en publicidad en miles de euros. Calcula la tasa de variación media del beneficio si la inversión en publicidad pasa de $3$ a $6$ miles de euros, e interpreta el resultado.

Dada la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, halla la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos de la gráfica con abscisas $x = 1$ y $x = 4$. ¿Qué relación tiene la pendiente de esta recta con la tasa de variación media en dicho intervalo?

Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en el intervalo genérico $[a, a+h]$, simplificando la expresión resultante lo máximo posible.

Desde lo alto de un acantilado se lanza verticalmente hacia arriba una bengala de salvamento. Su altura en metros respecto al nivel del mar tras $t$ segundos viene dada por $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$. Determina la velocidad media de la bengala en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. ¿Qué indica el signo de los resultados obtenidos?

El siguiente gráfico muestra el volumen de agua $V(t)$, en litros, que contiene un depósito a lo largo de $8$ horas. A partir de los puntos destacados en la gráfica, calcula la tasa de variación media del volumen en los intervalos $[0, 4]$ y $[4, 8]$. ¿En qué periodo el vaciado ha sido más rápido en promedio?

La tasa de variación media de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + c$ en el intervalo $[1, b]$ es igual a $6$. Sabiendo que $b > 1$, determina el valor de $b$. ¿Depende el resultado del valor de la constante $c$?

Se sabe que una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + 5$ tiene una tasa de variación media de $1$ en el intervalo $[0, 2]$ y de $9$ en el intervalo $[2, 4]$. Plantea un sistema de ecuaciones y halla los valores de los parámetros $a$ y $b$.

Demuestra analíticamente que la tasa de variación media de cualquier función afín $f(x) = mx + n$ en un intervalo arbitrario $[a, b]$ es siempre constante e igual a $m$.

La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura de un objeto se acerca a la temperatura ambiente de forma exponencial. Un ingeniero modeliza la temperatura de una pieza metálica en grados Celsius tras $t$ minutos mediante $T(t) = 25 + 150 \cdot (0,8)^t$. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[0, 5]$ y $[5, 10]$. ¿Qué conclusión extraes sobre el ritmo de enfriamiento a medida que pasa el tiempo?

Considera la función $f(x) = \frac{4}{x}$. La recta secante a la gráfica de $f(x)$ que pasa por los puntos de abscisas $x = 1$ y $x = 4$ forma un triángulo rectángulo con los semiejes positivos de coordenadas. Calcula el área de dicho triángulo.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{4}{x} - 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[0, 4]$. Comprueba si la función es continua en $x=2$ y razona si esto afecta al cálculo de la tasa de variación media.

Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = \sqrt{x+2}$ en el intervalo $[2, 2+h]$. A continuación, determina a qué valor se aproxima esta tasa de variación cuando $h$ tiende a $0$.

La fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y un satélite varía en función de la distancia $r$ (en miles de km) desde el centro de la Tierra según la expresión $F(r) = \frac{4 \cdot 10^5}{r^2}$. Calcula la tasa de variación media de la fuerza cuando la distancia pasa de $10$ a $20$ miles de km. Interpreta el significado del signo del resultado obtenido.