Ejercicios: Reglas de derivación

Calcula la función derivada de $f(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2} + 2\sqrt{x} - 7$, aplicando las reglas básicas de derivación de potencias y la linealidad.

Determina la derivada de la función $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ haciendo uso de la regla del producto.

Aplica la regla del cociente para hallar la derivada de la función racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.

Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicando correctamente la regla de la cadena.

Halla la primera derivada de la función logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.

Calcula la derivada de la función $f(x) = 3^{2x} + \arctan(x)$, recordando la regla de derivación para exponenciales de base distinta a $e$ y para funciones trigonométricas inversas.

Determina la segunda derivada, $f''(t)$, de la función $f(t) = \cos(5t) - t^3$.

El número de reproducciones diarias de una canción que se ha hecho viral evoluciona según la función $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, donde $t$ se mide en días desde su lanzamiento y $R(t)$ en miles de reproducciones. Calcula la tasa de variación instantánea $R'(t)$ aplicando las reglas de derivación e indica su expresión factorizada al máximo.

El coste medio de producción de un componente electrónico de alta precisión viene dado por $C(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x}$, donde $x$ es el número de lotes fabricados ($x > 0$). Determina la función que describe el ritmo de cambio del coste medio, $C'(x)$.

La temperatura de un horno industrial tras ser apagado desciende según la ley de enfriamiento $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, con $T$ en grados Celsius y $t$ en horas. Halla la expresión de la velocidad de enfriamiento $T'(t)$ usando la regla de la cadena.

El perfil de la cubierta de un estadio olímpico sigue la curva plana dada por $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metros. Calcula la ecuación general de la recta tangente en el punto de abscisa $x = 5$ para diseñar un soporte estructural rectilíneo que se apoye tangencialmente en dicho punto.

Un brazo robótico articulado se mueve de tal forma que el ángulo de su articulación principal (en radianes), en función de un parámetro de control $x$, es $\theta(x) = \arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ para $x > 1$. Obtén e indica la forma completamente simplificada de $\theta'(x)$.

La posición de un pistón neumático dentro de un cilindro está descrita por la ecuación de movimiento $s(t) = \ln(1 + t^2)$, donde $s$ está en decímetros y $t$ en segundos. Calcula la expresión de la aceleración del pistón, que corresponde a la segunda derivada $s''(t)$, y determina en qué instante $t > 0$ dicha aceleración se hace cero.

La trayectoria de un satélite durante una compleja maniobra orbital se describe en un plano de referencia mediante la curva definida de forma implícita por la ecuación $x^2 y - 3y^3 x = 14$. Calcula el valor de la pendiente de la trayectoria, $y'$, en el punto de coordenadas $(-2, 1)$.

Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones cuyas gráficas se muestran en la figura adjunta. Si se definen la función compuesta $h(x) = f(g(x))$ y la función producto $p(x) = f(x) \cdot g(x)$, utiliza los datos geométricos extraídos de la gráfica para calcular los valores numéricos exactos de $h'(2)$ y $p'(4)$.

La intensidad de una señal electromagnética atenuada al atravesar un medio denso sigue la función $I(x) = x e^{-x}$. Calcula las tres primeras derivadas $I'(x)$, $I''(x)$ e $I'''(x)$, y a partir de los resultados obtenidos, deduce y escribe la fórmula general para la derivada enésima $I^{(n)}(x)$.

En un circuito RLC de corriente alterna, la carga del condensador responde a la función $q(t) = e^{-\alpha t} (A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t))$. Demuestra, calculando detalladamente $q'(t)$ y $q''(t)$, que para las constantes $A=1$, $B=0$, $\alpha=2$ y $\omega=3$, la función satisface la ecuación diferencial de segundo orden:

El nivel de presión sonora en una cámara anecoica, tras aplicar un filtro de frecuencias, viene dado por la función:

Demuestra, utilizando las propiedades de los logaritmos antes de derivar y aplicando identidades trigonométricas en el resultado final, que $L'(x) = \frac{2}{\cos(2x)}$.