Ejercicios: Representación gráfica de funciones

Halla los puntos de corte de la gráfica de $f(x) = x^3 - 4x$ con los ejes de coordenadas.

Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ e indica su asíntota vertical, estudiando los límites laterales en el punto que no pertenece al dominio.

Comprueba que la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ tiene una asíntota horizontal y calcula su ecuación estudiando el límite cuando $x \to \pm \infty$.

Comprueba que la función $f(x) = x^3 - x$ es impar y explica qué ventaja supone esta simetría a la hora de representarla gráficamente.

La figura muestra la gráfica completa de una función racional, con sus asíntotas dibujadas a trazos. A partir de la lectura de la gráfica, indica: dominio, puntos de corte con los ejes, ecuaciones de las asíntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

La figura muestra el esquema de signos de una función polinómica de segundo grado: su gráfica queda por encima del eje de abscisas fuera del intervalo $[1, 4]$ y por debajo dentro.

1. a) Escribe una posible expresión analítica de $f$.

1. b) ¿Cuántas funciones polinómicas de segundo grado distintas cumplen ese mismo esquema de signos? Razona tu respuesta.

Realiza la división $\frac{x^2 + 1}{x}$ y comprueba que la gráfica de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ se acerca a la recta $y = x$ cuando $x \to \pm \infty$, como ilustra la figura. ¿Qué nombre recibe esa recta?

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Si una función tiene una asíntota horizontal, su gráfica nunca puede cortar a dicha asíntota». Si es falsa, verifícalo con la función $f(x) = \frac{2x^2 + x}{x^2 + 1}$, comprobando que su gráfica corta a su asíntota horizontal en algún punto.

Observa la siguiente gráfica de una función polinómica. Identifica los intervalos en los que la función es convexa (forma de $\cup$) y cóncava (forma de $\cap$). Señala también las coordenadas aproximadas de su punto de inflexión.

La siguiente gráfica corresponde a la función de proporcionalidad inversa $y = -\frac{2}{x}$. A partir de la observación de la curva, determina los intervalos de concavidad y convexidad. ¿Tiene esta función algún punto de inflexión en su dominio?

Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta detalladamente:

«Un punto de inflexión es aquel punto de la gráfica en el que la función pasa de ser creciente a ser decreciente, o viceversa».

Estudia y representa gráficamente la función $f(x) = x^3 - 3x^2$ siguiendo estos pasos:

1. a) Puntos de corte con los ejes.

1. b) Derivada, puntos singulares e intervalos de monotonía.

1. c) Máximos y mínimos relativos.

1. d) Dibuja la gráfica recogiendo toda la información anterior.

Estudia y representa la función bicuadrada $f(x) = x^4 - 2x^2$: simetría, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos relativos y dibujo de la gráfica.

Estudia y representa la función racional $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$: dominio, puntos de corte, asíntotas verticales y horizontales con sus límites, monotonía mediante la derivada y dibujo de la gráfica.

Estudia y representa la función $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$: dominio, puntos de corte, asíntota vertical, asíntota oblicua (realiza la división), intervalos de monotonía y extremos relativos, y dibujo de la gráfica.

Se mide la temperatura de un vaso de agua caliente en una cocina a $20\ \text{°C}$ y se obtienen los datos de la figura. El modelo propuesto es $T(t) = 20 + \frac{80}{t + 1}$, con $t$ en minutos.

1. a) Comprueba que el modelo es coherente con los primeros datos de la figura.

1. b) Estudia la monotonía de $T(t)$ para $t \geq 0$ mediante su derivada.

1. c) Calcula la asíntota horizontal e interpreta su significado físico.

1. d) Esboza la gráfica del modelo para $t \geq 0$.

Estudia y representa la función $f(x) = x \cdot (x - 2)^2$: puntos de corte con los ejes (observa la raíz doble y qué implica para la gráfica en $x = 2$), intervalos de monotonía, extremos relativos y dibujo.

Un alumno afirma que la gráfica de la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ es la parábola que aparece en la figura. Explica el error que ha cometido, simplifica la expresión de $f$ y describe cómo es realmente su gráfica, indicando qué ocurre en $x = 2$.

Estudia y representa la función definida a trozos

analizando: dominio, continuidad en el punto de unión, monotonía en cada tramo, extremos relativos y dibujo de la gráfica completa.

El siguiente gráfico representa la distancia recorrida por un vehículo en función del tiempo a lo largo de un trayecto. Analiza la curvatura en los tres tramos marcados (A, B y C) y relaciona si la función es cóncava, convexa o lineal con el estado de movimiento del vehículo (acelerando, frenando o velocidad constante).

Durante una epidemia, el número total de personas contagiadas se modela mediante la curva que aparece en la figura. Identifica el punto de inflexión de la gráfica. ¿Qué nombre recibe este punto en el lenguaje epidemiológico popular y qué indica sobre el ritmo diario de nuevos contagios?

Se está vertiendo agua a un ritmo constante en tres recipientes de cristal con formas diferentes: un cilindro recto, un cono con el vértice hacia abajo y un cono con el vértice hacia arriba. Asocia cada recipiente con la forma que tendrá la gráfica de la altura del agua en función del tiempo: convexa ($\cup$), cóncava ($\cap$) o lineal. Razona tu respuesta observando cómo varía la anchura del recipiente.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Representa gráficamente la función de forma esquemática. Estudia su concavidad y convexidad en los intervalos $(-\infty, 0)$ y $(0, +\infty)$. ¿Es el origen de coordenadas un punto de inflexión? Justifica tu respuesta.

En economía, la función de costes totales de producción de una fábrica suele tener forma cóncava ($\cap$) al principio debido a las economías de escala (los costes crecen cada vez más lento), y convexa ($\cup$) a partir de cierto nivel de producción por saturación (los costes crecen cada vez más rápido).

Si la función de costes totales es $C(x) = x^3 - 60x^2 + 1500x$, donde $x$ son las unidades producidas, y se sabe que el punto de inflexión separa estas dos zonas, ¿a partir de qué nivel de producción los costes empiezan a dispararse más rápidamente? (Dato: el punto de inflexión de una función cúbica $ax^3+bx^2+cx+d$ se sitúa en $x = -\frac{b}{3a}$).

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, se sabe por su gráfica que su punto de inflexión se encuentra situado exactamente en la coordenada $x$ que es el punto medio entre sus dos extremos relativos (un máximo local en $x=1$ y un mínimo local en $x=3$).

Calcula las coordenadas exactas del punto de inflexión y determina los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$) de la función.

La función $f(x) = |x^2 - 4|$ representa el valor absoluto de una parábola y su gráfica tiene forma de "W" redondeada.

Observa su gráfica y determina en qué intervalos la función es cóncava ($\cap$) y en cuáles es convexa ($\cup$). ¿Se pueden considerar los puntos $x=-2$ y $x=2$ (marcados en rojo) como puntos de inflexión propiamente dichos? Razona tu respuesta.

Considera la familia de funciones cuadráticas paramétricas dadas por la expresión $f(x) = (a^2 - 9)x^2 + 5x - 2$, donde $a$ es un número real.

1. a) ¿Para qué valores exactos del parámetro $a$ la función es una parábola convexa ($\cup$)?
2. b) ¿Para qué valores de $a$ es una parábola cóncava ($\cap$)?
3. c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual la gráfica de la función carezca de curvatura? En ese caso, ¿qué tipo de función geométrica se obtiene?

Un capital inicial de $1000\ \text{€}$ se invierte en un fondo a un interés compuesto anual del $5\%$. La función que describe el capital acumulado a lo largo del tiempo $t$ (en años) es $C(t) = 1000 \cdot (1,05)^t$.

Sabiendo que las funciones exponenciales con base mayor que $1$ tienen una curvatura característica, determina si esta función es cóncava ($\cap$) o convexa ($\cup$). ¿Llegará algún momento en el futuro en el que el ritmo de crecimiento del capital empiece a disminuir, generando así un punto de inflexión? Justifica tu respuesta.

Realiza el estudio completo y la representación gráfica de $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$:

1. a) Dominio, puntos de corte y simetrías.

1. b) Asíntotas vertical, horizontal y oblicua, con los límites correspondientes.

1. c) Intervalos de monotonía y extremos relativos.

1. d) Posición de la curva respecto de la asíntota oblicua y dibujo final.

Estudia y representa la función $f(x) = x \cdot e^{-x}$: dominio, puntos de corte, asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$, comportamiento cuando $x \to -\infty$, intervalos de monotonía, extremo relativo y dibujo de la gráfica.

Estudia y representa la función $f(x) = x + \frac{1}{x}$: dominio, simetría impar, ausencia de cortes con el eje de abscisas (razónala), asíntotas vertical y oblicua, intervalos de monotonía, extremos relativos con sus valores y dibujo.

Se busca una función racional cuya gráfica tenga asíntota vertical $x = 1$, asíntota horizontal $y = 2$ y pase por el punto $(0, 1)$.

1. a) Propón una expresión del tipo $f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}$ y determina $a$ y $b$ con las condiciones dadas.

1. b) Comprueba que la función obtenida cumple las tres condiciones.

1. c) Estudia su monotonía y dibuja su gráfica.

Estudia y representa la función $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$: dominio, simetría, asíntotas verticales y horizontales (calcula los cuatro límites necesarios), monotonía en cada rama mediante la derivada y dibujo de la gráfica.

Tras tomar un medicamento en ayunas, su concentración en sangre, en $\text{mg/l}$, se modela con $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 1}$, donde $t \geq 0$ son las horas transcurridas.

1. a) Estudia la monotonía de $C(t)$ y determina en qué momento la concentración es máxima y cuánto vale.

1. b) Calcula la asíntota horizontal e interprétala en el contexto.

1. c) Determina durante qué intervalo de tiempo la concentración supera $1\ \text{mg/l}$.

1. d) Esboza la gráfica completa del modelo.

Considera la función $f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1}$.

1. a) Realiza la división y comprueba que $f(x) = x + \frac{x}{x^2 + 1}$, deduciendo que la recta $y = x$ es asíntota oblicua.

1. b) Determina en qué punto corta la gráfica a su asíntota oblicua y estudia en qué regiones la curva queda por encima y por debajo de ella.

1. c) Completa el estudio (simetría, monotonía) y dibuja la gráfica junto con la asíntota.

Estudia y representa la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$: dominio, punto de corte con el eje de abscisas, límites en los extremos del dominio (en particular la asíntota vertical y la horizontal), intervalos de monotonía, extremo relativo y dibujo de la gráfica.

Un ingeniero está diseñando el perfil de una montaña rusa. El primer tramo de descenso sigue la ecuación $y = -x^2 + 4$ para $x \le 1$. Para suavizar la transición hacia la subida, decide empalmar en $x = 1$ un segundo tramo con forma de parábola $y = a(x - 2)^2 + b$ para $x > 1$.

Halla los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la función total debe ser continua en $x = 1$ y que en ese punto se debe producir un cambio de curvatura, formando un punto de inflexión donde las dos curvas se unen.

Una propiedad geométrica fundamental de las funciones convexas ($\cup$) es que el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de su gráfica siempre queda por encima de la curva.

Comprueba analíticamente esta propiedad para la función $f(x) = x^2$. Para ello, halla la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos de la gráfica con abscisas $x = -1$ y $x = 3$. Luego, calcula el valor de la recta en $x = 1$ y comprueba que es estrictamente mayor que $f(1)$.

Describe y dibuja en tu cuaderno un boceto de una función continua $f(x)$ definida en el dominio $[-5, 5]$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• Es simétrica impar (simetría respecto al origen).

• Tiene un máximo relativo en $x = 2$ y un mínimo relativo en $x = -2$.

• Tiene exactamente tres puntos de inflexión situados en $x = -3$, $x = 0$ y $x = 3$.

• Es convexa ($\cup$) en los intervalos $[-5, -3) \cup (0, 3)$.

• Es cóncava ($\cap$) en los intervalos $(-3, 0) \cup (3, 5]$.